Основные свойства логарифмической функции:

1. Областью определения логарифмической функции будет являться все множество положительных вещественных чисел. Для краткости его еще обозначают . Очевидное свойство, так как каждое положительное число имеет логарифм по основанию .

2. Областью значения логарифмической функции будет являться все множество вещественных чисел.

3. Если основание логарифмической функции , то на всей области определения функции возрастает. Если для основания логарифмической функции выполняется следующее неравенство

4. График логарифмической функции всегда проходит через точку (1;0).

5. Возрастающая логарифмическая функция, будет положительной при , и отрицательной при .

6. Убывающая логарифмическая функция, будет отрицательной при , и положительной при :

На следующем рисунке представлен график убывающей логарифмической функции – :

7. Функция не является четной или нечетной. Логарифмическая функция – функция общего вид.

8. Функция не имеет точек максимума и минимума.

Если построить в одной оси координат показательную и логарифмическую функции с одинаковыми основаниями, то графики этих функций будут симметричны относительно прямой . Данное утверждение показано на следующем рисунке.

Изложенное выше утверждение будет справедливо, как для возрастающих, так и для убывающих логарифмических и показательных функций. Рассмотрим пример: найти область определения логарифмической функции .

Исходя из свойств логарифмической функции, областью определения является все множество положительных вещественных чисел R+. Тогда заданная функция будет определена для таких , при которых . Решаем это неравенство и получаем .

Таким образом, получается, что областью определения функции будет являться промежуток .

Преобразования графиков функции.

Параллельный перенос вдоль оси абсцисс.

Преобразование координат точки с координатами в точку с координатами , полученную из исходной точки при помощи параллельного переноса на вектор (a,0) вдоль оси абсцисс, задается формулами: , согласно этим формулам каждая точка графика с координатами переходит в точку . С помощью переменных можно записать, что график функции переходит в некую фигуру , состоящую из точек , где принимает все значения вида , причем пробегает все значения из .

именно при этих значениях число принадлежит и определено. Следовательно, фигура есть график функции . Сформулируем правило:

График функции получается из графика переносом вдоль оси абсцисс на вектор . Если , то вектор направлен вдоль положительного направления оси абсцисс, а если , то в отрицательном. 

В качестве примера, ниже приведен график функции . 

 

Растяжение и сжатие вдоль оси абсцисс.

Такое преобразование задается формулами: . 

Произвольная точка графика функции переходит при таком растяжении в точку . Переходя к переменным и запишем, что график функции переходит в фигуру, состоящую из точек , где принимает значения принимает все значения из области определения . 

По определению графика функции (см. выше) эта фигура есть график функции . 

Правило: для построения графика функции , надо подвергнуть график функции растяжению с коэффициентом вдоль оси абсцисс.

Параллельный перенос вдоль оси ординат.

Обозначим точку, в которую переходит точка с координатами . Так как перенос осуществляется вдоль оси ординат, то координаты новой точки будут связаны с координатами старой точки следующим образом: .

Возьмем произвольную функцию с областью определения . Произвольная точка графика функции переходит в точку . Это означает, что график функции переходит в фигуру, состоящую из всех точек , где принимает все значения и области определения . 

Исходя из определения графика функции (см. выше), эта фигура является графиком функции . Подводя черту под вышеизложенной теорией, сформулируем правило:

Для построения графика функции , где – постоянное число, надо перенести график функции на вектор вдоль оси ординат. 

В качестве примера ниже приведен график , который был получен из графика функции путем переноса на вектор вдоль оси ординат ОУ. 

Растяжение и сжатие вдоль оси ординат.

Рассмотрим растяжение вдоль оси OY с коэффициентом . Координаты новой точки после преобразования будут выглядеть так: . 

Для построения точки , в которую переходит данная точка при растяжении, надо построить на прямой (см. рисунок ниже), где – проекция точки на ось , точку, гомотетичную точке относительно центра с коэффициентом гомотетии . 

 

Для примера на рисунке ниже показано построение точек, в которые переходят данные точки с и 2. 

 

Теперь выясним, в какую фигуру переходит график при растяжении. Из приведенных выше формул получаем, что любая точка переходит в точку . Следовательно, график переходит в фигуру, состоящую из всех точек , где пробегает все значения из . Эта фигура, очевидно, является графиком функции . 

Резюмируя вышеизложенное, сформулируем правило: 

Для построения графика функции надо растянуть график функции в раз вдоль оси ординат. 

В качестве примера, ниже приведен график функции . 

 

Параллельный перенос вдоль оси абсцисс.

Преобразование координат точки с координатами в точку с координатами , полученную из исходной точки при помощи параллельного переноса на вектор (a,0) вдоль оси абсцисс, задается формулами: , согласно этим формулам каждая точка графика с координатами переходит в точку . С помощью переменных можно записать, что график функции переходит в некую фигуру , состоящую из точек , где принимает все значения вида , причем пробегает все значения из .

Именно при этих значениях число принадлежит и определено. Следовательно, фигура есть график функции . Сформулируем правило:

График функции получается из графика переносом вдоль оси абсцисс на вектор . Если , то вектор направлен вдоль положительного направления оси абсцисс, а если , то в отрицательном. 

В качестве примера, ниже приведен график функции . 

 

Растяжение и сжатие вдоль оси абсцисс.

Такое преобразование задается формулами: . 

Произвольная точка графика функции переходит при таком растяжении в точку . Переходя к переменным и запишем, что график функции переходит в фигуру, состоящую из точек , где принимает значения принимает все значения из области определения . 

По определению графика функции (см. выше) эта фигура есть график функции . 

Правило: для построения графика функции , надо подвергнуть график функции растяжению с коэффициентом вдоль оси абсцисс. 

В качестве примера ниже приведен график функции .