График функции

Графиком функции   называют множество всех точек координатной плоскости, где , а пробегает всю область определения функции . 

Подмножество координатной плоскости является графиком какой-либо функции, если оно имеет не более одной общей точки с любой прямой, параллельной оси OY. Например, множество, изображенное на рисунке ниже, не является графиком функции, так как оно содержит две точки с одной и той же абсциссой , но разными ординатами b₁ и b₂. Если принять эту линию за график функции, то получилось бы, что одному значению аргумента соответствует сразу два значения функции, что противоречит определению функции.

Графический способ задания зачастую удобнее по сравнению с аналитическим, так как по графику сразу видно, что из себя представляет функция и можно проанализировать ее поведение. Плюс ко всему для любого x₀ из области определения легко найти (с определенной точностью) соответствующее значение y₀=f(x₀) функции. Это показано на рисунке ниже.

Тема 3.2. Степенная, тригонометрическая, показательная и логарифмическая функции. Преобразования графиков

Степенная функция с натуральным показателем, ее свойства и график. Вертикальные и горизонтальные асимптоты графиков. Графики дробно-линейных функций.

Тригонометрические функции, их свойства и графики, периодичность, основной период. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики.

Показательная функция (экспонента), ее свойства и график.

Логарифмическая функция, ее свойства и график.

Преобразования графиков: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Показательные функции:

Определение. Функция, заданная формулой  (где ), называется показательной функцией с основанием . Сформулируем основные свойства показательной функции:

1.     Область определения – множество всех действительных чисел.

2.     Область значений – множество всех положительных действительных чисел.

3.     При функция возрастает на всей числовой прямой; при функция убывает.

4.     Является функцией общего вида.

Рис. 1 График функции , на интервале  .

Рис. 2 График функции , на интервале .

Основные свойства показательной функции  при :

• Область определения функции - вся числовая прямая.

• Область значений функции – промежуток .

• Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если _, то  .

• При  значение функции равно 1.

• Если , то  и если  , то .

Графики показательных функций с основанием и  изображены на рисунке.

Основные свойства показательной функции  при :

• Область определения функции - вся числовая прямая.

• Область значений функции – промежуток .

• Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если  _, то  .

• При  значение функции равно 1.

• Если  , то   и если  , то  .

К общим свойствам показательной функции как при , так и при относятся:

, для всех и ;

для любого и любого ;

для любых ;

для любых ;

, то .

Показатель – четное натуральное число.

В этом случае степенная функция , где – натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения – все действительные числа, т. е. множество R;

• множество значений – неотрицательные числа, т. е. больше или равно 0;

• функция    четная, так как  ;

• функция является убывающей на промежутке  и возрастающей на промежутка .

График функции  имеет такой же вид, как например график функции .

Показатель – нечетное натуральное число.

В этом случае степенная функция   , где натуральное число, обладает следующими свойствами:

• область определения – множество R;

• множество значений – множество R;

• функция  нечетная, так как (-x)^2n-1=x^2n-1;

• функция является возрастающей на всей действительной оси.

График функции  имеет такой же вид, как, например, график функции  .

Показатель , где  и – натуральное число.

В этом случае степенная функция  обладает следующими свойствами:

• область определения – множество , кроме ;

• множество значений – положительные числа ;

• функция четная, так как ;

• функция является возрастающей на промежутке и убывающей на промежутке .

График функции  имеет такой же вид, как, например, график функции .

Показатель , где – натуральное число.

В этом случае степенная функция   обладает следующими свойствами:

• область определения – множество , кроме ;

• множество значений – множество , кроме ;

• функция нечетная, так как ;

• функция является убывающей на промежутках  и  .

График функции   имеет такой же вид, как, например, график функции .

Логарифмическая функция

 Функцию вида , где   любое положительное число не равное единице, называют логарифмической функцией с основанием  . Здесь и далее для обозначения логарифма мы будем использовать следующую нотацию: – данная запись будет обозначать логарифм по основанию .