Раздел 3. Функции

Тема 3.1. Функция и ее основные свойства

Функции. Область определения и множество значений. График функции. Построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функций: монотонность, четность и нечетность, периодичность, ограниченность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума (локального максимума и минимума). Выпуклость функции. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.

Сложная функция (композиция функций). Взаимно обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции. Нахождение функции, обратной данной.

Зависимость одной переменной от другой называется функциональной зависимостью. Зависимость переменной   от переменной называется функцией, если каждому значению соответствует единственное значение .

Обозначение: .

Переменную называют независимой переменной или аргументом, а переменную – зависимой. Говорят, что является функцией от . Значение , соответствующее заданному значению , называют значением функции.

Все значения, которые принимает , образуют область определения функции; все значения, которые принимает , образуют множество значений функции.

Обозначения:

– область определения функции;

– область значений функции;

– значение функции в точке .

– значения аргумента.  – значения функции. Если функция задана формулой, то считают, что область определения состоит из всех значений переменной, при которых эта формула имеет смысл.

Графиком функции называется множество всех точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. Если некоторому значению соответствуют несколько значений (а не одно) , то такое соответствие не является функцией. Для того чтобы множество точек координатной плоскости являлось графиком некоторой функции, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая параллельная оси , пересекалась с графиком не более чем в одной точке.

Способы задания функции

1) Функция может быть задана аналитически в виде формулы. Например,

2) Функция может быть задана таблицей из множества пар .

3) Функция может быть задана графически. Пары значений  изображаются на координатной плоскости.

Определение: Функция называется четной, если для любого из области определения . График произвольной четной функции приведен на рисунке ниже. 

Определение. Функция называется нечетной, если для любого из области определения .

График произвольной четной функции приведен на рисунке ниже. 

Следует отметить, что помимо четных и нечетных функций, встречаются так же функции ни четные, ни нечетные.

Построение графиков четных и нечетных функций.

При построении графиков четных и нечетных функций удобно пользоваться следующими свойствами:

1. График четной функции симметричен относительно оси ординат. 

2. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. 

Из этих правил вытекает следующее. При построении графика четной или нечетной функции достаточно построить его часть для неотрицательных x, а затем отразить полученный график относительно оси ординат (если функция четная) или начала ординат (если функция нечетная).

Периодические функции.

Известные нам тригонометрические функции являются периодическими. Для любого числа x и любого целого числа выполняется , следовательно ; - целое число, - период функции синуса.

Поскольку синус и косинус определены на всей числовой прямой, а так же для любого , синус и косинус – периодические функции с периодом . Тангенс и котангенс – периодические функции с периодом . В самом деле, области определения этих функций вместе с каждым содержит числа и и верны равенства .  Если функция периодическая с периодом T, то при любом целом n≠0, число так же является периодом этой функции. Например, пусть n=3. Воспользуемся определением периодической функции:

Построение графиков периодических функций.

При построении графиков периодических функций справедливо следующее утверждение: 

Для построения графика периодических функций с периодом достаточно провести построение на отрезке длиной , и затем полученный график параллельно перенести на расстояние вправо и влево вдоль оси , - натуральное число. Это показано на рисунке ниже: 

 

Действительно, пусть – точка графика периодической функции . Тогда точка при любом целом принадлежит области определения , и, вследствие периодичности , справедливо равенство . Значит, точка , полученная при параллельном переносе точки вдоль оси на вектор , тоже принадлежит графику .

Возрастание и убывание функций.

Познакомимся на примере с возрастанием и убыванием функции. На рисунке ниже изображен график функции, определенной на отрезке [-1;10]. Эта функция возрастает на отрезках [-1;3] и [4;5], и убывает на отрезках [3;4] и [5,10]. 

Рассмотрим еще один пример. Очевидно, что функция убывает на промежутке (-∞; 0] и возрастает на промежутке [0;∞). Видно, что график этой функции при изменении от -∞ до 0 сначала опускается до нуля, а затем поднимается до бесконечности.

Определение. Функция возрастает на множестве P, если для любых  и  из множества P, таких, что выполнено неравенство .

Определение. Функция убывает на множестве P, если для любых  и из множества P, таких, что , выполнено неравенство .  Иначе говоря, функция называется возрастающей на множестве P, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция называется убывающей на множестве P, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Экстремум функции.

Введем понятие окрестности точки. Окрестностью точки называется любой интервал, содержащий эту точку. Например, интервал (2; 6) - это окрестность точки 3. 

Посмотрим на график на рисунке ниже. 

Наиболее заметными точками области определения являются точки , в которых возрастание сменяется убыванием (точки 3 и 5) или убывание сменяется возрастанием (точка 4). Эти точки называют соответственно точками максимума и точками минимума .  При построении графиков функций полезно сначала найти точки максимума и минимума. Например, в случае функции синуса точки вида - это точки максимума, а точки вида - это точки минимума.  В дальнейшем изложении будет показано, как искать точки максимума и минимума функции, не прибегая к рисованию графиков. Точки максимума и минимума функции называют точками экстремума функции.

Максимум и минимум функции.

Приведем точные определения точек экстремума.  Определение. Точка x₀ называется точкой минимума функции , если для всех из некоторой окрестности x₀ выполняется неравенство .

Это наглядно показано на рисунке: 

 

Определение. Точка x₀ называется точкой максимума функции , если для всех из некоторой окрестности  выполняется неравенство .

Это наглядно показано на рисунке:     

Для точек минимума и максимума функции есть общее определение – точки экстремума. Значение функции в этих точках соответственно называется максимумом или минимумом этой функции. Общее название – экстремум функции. Точки максимума обычно обозначают , а точки минимума – .

Асимптоты

Если график функции  имеет бесконечную ветвь (ветви), у графика могут быть асимптоты. Асимптотой графика называется прямая, к которой неограниченно приближается точка графика при удалении этой точки по бесконечной ветви.

Вертикальная асимптота	Горизонтальная асимптота	Наклонная асимптота

Прямая является вертикальной асимптотой, если хотя бы один из пределов.

(предел справа) или  (предел слева) равен бесконечности. 

Прямая является горизонтальной асимптотой, если существуют конечные пределы или . Прямая является наклонной асимптотой, если существуют конечные пределы  либо при , либо при .

Обратные функции

Понятие обратной функции применимо к функциям, обладающим следующим свойством: каждому значению   из области определения соответствует единственное значение   из области определения этой функции. Для многих функций это свойство выполняется лишь на части области определения, в частности (для функции  таким промежутком является, например, луч , для функции  – отрезок ).

Функция   называется обратной для функции  , если каждому  из области значений функции  функция   ставит в соответствие такое   из области определения функции  , что  . Таким образом, если , то .

Функции   и  являются взаимно обратными.

Область определения функции  является областью значений функции  , а область значений функции является областью определения функции .

Графики взаимно обратных функций симметричны друг другу относительно прямой .

Нахождение формулы для функции, обратной данной

Заменить   на  , а   на  .

Пример. Найти формулу для функции, обратной функции: . Выразить   через  :  .

Заменить   на  :  . Результат: функция является обратной для функции .

 Функция f(x) называется функцией целочисленного аргумента, если множество значений x, для которых она определена, является множеством всех натуральных чисел 1, 2, 3,… Примером функции целочисленного аргумента может служить сумма n первых чисел натурального ряда. В данном случае .

Функция 

1. 

2. 

3. 

4. функция нечетная, то есть 

5.  при ;

6.  при ;

7.  при ;

8.  при ;

9.  при .

Функция 

1.  ;

2. 

3. 

4. функция ни четная, ни нечетная, то есть 

5.  при ;

6.  при ;

7.  при ;

8. при .

Функция 

1. 

2. 

3. 

4. функция нечетная, то есть 

5.  при ;

6.  при ;

7.  при ;

8. график функции имеет 2 асимптоты:

Функция 

1. 

2. 

3. 

4. функция ни четная, ни нечетная, то есть 

5.  ни при каких ;

6.  при ;

7. график функции имеет 2 асимптоты: