Раздел 1. Числовые и буквенные выражения

Тема 1.1 Делимость чисел

Делимость целых чисел. Деление с остатком. Сравнения. Решение задач с целочисленными неизвестными.

Делимость. Делители

Говорят, что ненулевое целое число b делит целое число a (обозна­чение ), если существует целое число k такое, что .

Число b называется делителем числа а. Иногда вместо выражения «b делит a» употребляют выражение «а делится на b».

Пример. Число 9 делит число 72, так как . Следова­тельно, число 9 является делителем числа 72.

Пример. Число 7 не делит число 36, так как равенство 36 = 7k не выполняется ни при каком целом k.

Деление с остатком

Для любых положительных целых чисел а и b существуют единст­венные неотрицательные целые числа q (частное) и r (остаток), где , такие, что . В этом случае говорят, что число а де­лится на b с остатком.

Пример. Разделим с остатком число 67 на число 13.

. Здесь 5 – частное, 2 – остаток.

Простые числа

Положительное целое число называется простым, если у него только два делителя: 1 и оно само. Положительное целое число, у ко­торого больше двух делителей, называется составным.

Пример. Числа 2,5,11,17 простые.

Пример. Покажем, что числа 18, 45,72 составные.

Действительно, , , .

Теорема Евклида. Простых чисел бесконечно много.

Основная теорема арифметики. Любое положительное целое чис­ло может быть записано в виде произведения простых чисел, причем это произведение единственно с точностью до порядка множителей.

Пример. Разложим число 180 в произведение простых чисел.

Так как , то иско­мое разложение равно .

Сравнения. Классы вычетов по модулю

Пусть n – положительное целое число. Говорят, что целые числа а и b сравнимы по модулю (а ≡ b (mod )), если разность а – b делится на п.

Пример. Покажем, что числа 27 и 2 сравнимы по модулю 5.

Так как 27 – 2=25 делится на 5, то 27 ≡ 2 (mod 5).

Сравнение чисел по модулю является отношением эквивалентности на множестве целых чисел. Поэтому множество целых чисел распадается на классы эквивалентности по модулю п. Множество таких классов обозначается Z_n и называется множеством классов вычетов по модулю п.

Пример. Множество состоит из двух классов: и . В класс = {0, ±2,±4,...} попадают все четные числа. А класс = {±1, ±3,...} содержит все нечетные числа.

Решение сравнений

Очень часто необходимо уметь находить решения сравнения ах = с (mod m).

Теорема. Если с делится на НОД(a, т), то сравнение ax ≡ с (mod т) имеет конечное число решений по модулю т.

Эти решения задаются формулой НОД(a, т) (mod т), где t=1,2,…НОД (a,m), а для существует такой . что является решением уравнения .

Пример. Найдем решение сравнения 4х ≡ 6 (mod 18).

Здесь а = 4, с = 6, т = 18. Так как с = 6 делится на НОД(a, m) = НОД(4,18) = 2, то сравнение 4x = 6 (mod 18) имеет решение.

Число таких решений совпадает с НОД(a, m) =НОД(4,18) = 2, то есть имеется два решения.

Подберем решение уравнения ах + ту = с. В уравнении 4х+18у = 6 обе части уравнения можно сократить на 2. Тогда 2х + 9у = 3.

Так как нас устроит любое решение уравнения 2х + 9y = 3, то по­ложим

y = –1. Тогда 2х + 9(-1) = 3. Отсюда x₀ = 6. Решения сравнения 4х ≡ 6 (mod 18) задаются формулой

, t=1,2.

При t  = 1 получаем одно решение 6 + 9•1 (mod 18) = 15 (mod 18). При t=2 получаем другое решение 6 + 9•2 (mod 18) = 6+18 (mod 18) ≡6 (mod 18).