2. Кривые второго порядка.

Эллипс.

Эта кривая задается уравнением . Это уравнение называется каноническим.

Чтобы сделать эскиз этой кривой, на оси OX надо отметить точки , а на оси OY отметить точки . Эти точки соединить плавной линией.

Если центр кривой смещается из начала координат в другую точку, уравнение кривой изменяется.

Пример. Выделяя полные квадраты, сделать эскиз эллипса.

Выделяем полные квадраты.

. Приведем это уравнение к каноническому виду.

Значит, центр эллипса находится в точке ,

Чтобы сделать эскиз кривой, отмечаем центр эллипса, пунктирными линиями переносим в нее оси координат.

Гипербола.

Эта кривая задается уравнением . Это уравнение называется каноническим. Чтобы сделать эскиз этой кривой, на оси OX надо отметить точки , а на оси OY отметить точки . Построить прямоугольник, проходящий через эти точки и пунктиром провести прямые, проходящие через диагонали этого прямоугольника. Эти прямые называются асимптотами гиперболы. Затем вписываются две ветви гиперболы.

Пример. Выделяя полные квадраты, сделать эскиз гиперболы.

центр кривой в точке .

Отмечаем центр гиперболы, пунктирными линиями переносим в нее оси координат, строим прямоугольник, проводим в нем диагонали и вписываем две ветви гиперболы.

Заметим, что если получилось уравнение , то надо поменять знак:

. У этой гиперболы ветви направлены не вправо и влево, а вверх и вниз. Строится такая гипербола точно также, только ветви гиперболы вписываются в верхний и нижний угол между асимптотами.

Парабола.

Эта кривая задается уравнением или . Эти уравнения называются каноническими. Чтобы сделать эскиз параболы, надо найти ее вершину и определить, в какую сторону направлены ее ветви. Если в уравнении в первой степени находится , то ветви вдоль оси . Если , ветви вправо, если , ветви влево. Если в уравнении в первой степени находится , то ветви вдоль оси . Если , ветви вверх, если , ветви вниз.

Пример. Выделяя полные квадраты, сделать эскиз параболы.

1)

вершина параболы в точке , ветви вдоль оси вверх.

2)

вершина параболы в точке , ветви вдоль оси

влево.

3. Плоскость и прямая в пространстве.

Плоскость.

Плоскость задается линейным уравнением вида

Вектор, перпендикулярный плоскости, называется нормалью , а его координатами являются коэффициенты при в уравнении плоскости: .

Пример. 1) Плоскость задана уравнением , значит, нормаль .

2) Плоскость задана уравнением , значит, нормаль . Этот вектор перпендикулярен оси , значит, сама плоскость параллельна оси . Аналогично, если в уравнении плоскости нет переменной , эта плоскость параллельна оси . Если нет переменной , плоскость параллельна оси

Пример. Нарисовать плоскости, заданные следующими уравнениями.

1)

Находим точки пересечения плоскости с осями координат.

Если , то .

Если , то .

Если , то .

На осях координат отмечаем полученные точки и соединяем отрезками прямых.

2) Эта плоскость параллельна оси OZ.

В плоскости XOY по двум точкам строим прямую .

При , при .

Затем построенную прямую «смещаем» параллельно оси

Чтобы составить уравнение плоскости, надо знать координаты любой точки, принадлежащей этой плоскости, и координаты вектора нормали , затем воспользоваться уравнением (*)

Пример. Составить уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости .

Запишем координаты нормали заданной плоскости: . Так как плоскости параллельны, их нормали тоже параллельны, значит, в качестве нормали искомой плоскости, можно взять . Используя (*), составим уравнение плоскости :

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

.

Если заданные точки не лежат на одной прямой, то такая плоскость единственная. Рассмотрим векторы и . Если векторы параллельны, то точки лежат на одной прямой и единственную плоскость они не определяют. Проверим пропорциональность координат: векторы не параллельны, точки не лежат на одной прямой.

Векторное произведение векторов и есть вектор, перпендикулярный обоим этим векторам, значит, искомая нормаль .

Найден вектор нормали или можно взять

Из заданных точек выбираем любую, например, и используем уравнение (*):

- искомое уравнение. Полученная плоскость параллельна оси .

Прямая в пространстве.

Прямая в пространстве задается тремя способами.

1. Общие уравнения прямой (прямая задана как линия пересечения двух плоскостей):

2. Канонические уравнения прямой (прямая проходит через точку

параллельно вектору . Вектор называется

направляющим вектором прямой):

3. Параметрические уравнения прямой. ( прямая задается как траектория движения

точки):

Здесь любое число, называемое параметром.

Пример. Задана прямая общими уравнениями

Плоскости и не параллельны, так как нормали не параллельны , значит, пересекаясь, задают прямую.

Пример. Задана прямая каноническими уравнениями

Точка лежит на этой прямой, вектор параллелен этой прямой и называется направляющим вектором.

Пример. Задана прямая параметрическими уравнениями

Направляющий вектор этой прямой . Для любого значения параметра соответствует одна точка, лежащая на прямой. Например, для получаем точку с координатами , или .

Обратно, для любой точки, лежащей на данной прямой, найдется единственное значение параметра, соответствующее этой точке. Например, точке соответствует параметр .

Пример. Найти угол между прямыми

и

Угол между прямыми – это угол между их направляющими векторами. Найдем направляющий вектор первой прямой:

- нормаль к первой плоскости,

- нормаль ко второй плоскости. Тогда направляющий вектор

Точно так же для второй прямой:

- нормаль к первой плоскости,

- нормаль ко второй плоскости. Тогда направляющий вектор

Находим косинус угла между прямыми:

Пример. Прямая задана общими уравнениями:

Получить канонические уравнения этой прямой.

Направляющий вектор прямой найден в предыдущем примере . Остается найти какую-либо точку, лежащую на прямой.

Пусть, например, , тогда решаем систему уравнений

Канонические уравнения имеют вид:

Задание 3. В пространстве заданы две прямые и .

1. Записать канонические уравнения прямой .

2. Найти угол между прямыми и .

Канонические уравнения прямой получены в предыдущем примере, направляющий вектор этой прямой . Направляющий вектор второй прямой . С помощью скалярного произведения найдем косинус угла между прямыми:

Задание 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А, В, С. Найти точку пересечения полученной плоскости с заданной прямой .

Составим уравнение плоскости, используя уравнение .

Значит, вектор нормали , или можно взять . Выбираем точку, лежащую в плоскости, например, :

В полученном уравнении отсутствует , значит, эта плоскость параллельна оси .

Найдем точку пересечения А плоскости и прямой. Для этого канонические уравнения прямой запишем в параметрическом виде:

Полученные параметрические уравнения подставим в уравнение плоскости и найдем то значение параметра , которое соответствует точке пересечения А.

Чтобы найти координаты точки пересечения, подставим в параметрические уравнения прямой и получим

Значит, .

Поверхности второго порядка.

1. Эллипсоид - поверхность, которая задается уравнением

Это уравнение называется каноническим.

2. Однополостный гиперболоид - поверхность, которая задается уравнением

Это уравнение называется каноническим.

3. Двуполостный гиперболоид - поверхность, которая задается уравнением

Это уравнение называется каноническим.

4. Конус второго порядка - поверхность, которая задается уравнением

Это уравнение называется каноническим.

5. Эллиптический параболоид - поверхность, которая задается уравнением

Это уравнение называется каноническим.

6. Гиперболический параболоид - поверхность, которая задается уравнением

Это уравнение называется каноническим.

7. Эллиптический цилиндр - поверхность, которая задается уравнением

Это уравнение называется каноническим.

8. Гиперболический цилиндр - поверхность, которая задается уравнением

Это уравнение называется каноническим.

9. Параболический цилиндр - поверхность, которая задается уравнением

Это уравнение называется каноническим.

Все эти поверхности расположены относительно системы координат специальным образом. Например, центр эллипсоида находится в начале координат, а его оси являются координатными осями. Если же поверхность, не поворачивая, сместить в некоторую точку, ее каноническое уравнение изменится. Чтобы узнать, куда было сделано смещение и распознать поверхность, надо выделить полные квадраты.

Задание 5. Получить каноническое уравнение, указать название поверхности.

Выделим полные квадраты:

Это двуполостный гиперболоид, с центром в точке с осью, параллельной оси