2.3. Закономерности теплообмена излучением

2.3.1. Теплообмен излучением для тел со свойствами абсолютно черного тела

Теплообмен излучением является обязательным элементом расчета теплового режима источников изучения и условий нагрева тел, облучаемых такими источниками. Одним из основных исходных соотношений, необходимых для количественной оценки условий теплообмена, являются формулы, описывающие распределение интенсивности излучения абсолютно черного тела по направлениям. С этой целью вводится понятие угловой плотности излучения. В случае, когда линейные размеры источника излучения много меньше расстояния до приемника (точечный источник):

I = dE/d,

где Ω – телесный угол (величина, равная отношению площади участка сферической поверхности к квадрату радиуса сферы). Единицей измерения телесного угла является стерадиан (по аналогии с понятием плоского угла, выраженного в радианах, определяемого как отношение длины дуги к ее радиусу).

Поскольку плотность излучения модели абсолютно черного тела соответствует предельно возможной, то угловая плотность излучения в заданном направлении должна быть пропорциональной видимым размерам излучающей площадки. Несложно показать, что видимые размеры излучающей площадки будут пропорциональны косинусу угла θ, отсчитываемого от нормали к поверхности, т.е.:

I_θ = I₀ cos(θ),

где I₀ – угловая плотность излучения по нормали к поверхности.

Д анная зависимость иногда называется законом Ламберта или законом косинуса. Распределение плотности излучения по направлениям (индикатриса излучения) в случае абсолютно черного тела представлено на рис. 2.3.

Полное излучение точечного источника может быть найдено интегрированием по всем направлениям в пределах полусферы (рис. 2.4):

= πI_0.

Таким образом, I₀= E/π.

С ходные условия возникают при оценке потока, падающего на соседнее тело. В результате преобразований получим, что общий поток излучения, передаваемый от тела 1 к телу 2 (рис. 2.5), составляет:

Это уравнение иногда записывают в виде:

Q_пад2 = φ_1,2E_1,

где – угловой коэффициент облученности тела 2 со стороны тела 1.

У гловой коэффициент облученности показывает, какая часть излучения тела 1 попадает на тело 2.

Выражение для углового коэффициента облученности поддается интегрированию лишь для ограниченного числа вариантов конфигурации тел, участвующих в теплообмене излучением. Возможности расчета теплообмена излучением существенно расширяются, если учесть основные свойства коэффициента облученности:

для любых двух тел, участвующих в теплообмене,

S_iφ_i,j = S_jφ_j,i (условие взаимности);

если n тел составляют замкнутую систему,

(условие замкнутости).

2.3.2. Теплообмен излучением в системе реальных тел

При расчете теплообмена излучением в системе реальных тел необходимо учитывать возможность существенных отклонений в закономерностях собственного излучения (закон Стефана – Больцмана), распределение излучения по направлениям (закон Ламберта), спектральный состав излучения (закон Планка) и условия взаимодействия с падающим на данное тело потоком излучения.

Как уже отмечалось, излучение реальных тел всегда меньше излучения абсолютно черного. Эта особенность учитывается введением соответствующего множителя в уравнение Стефана – Больцмана:

E = εσST⁴.

В литературе по теплотехнике коэффициент ε часто определяется как степень черноты. В литературе по радиоэлектронике и в ряде общетеоретических работ он называется коэффициентом теплового излучения или короче – коэффициентом излучения.

Второй особенностью реальных тел является неточное соблюдение закона Планка. Для количественной оценки такой особенности вводится понятие спектральный коэффициент излучения (спектральная степень черноты) ε_λ. Закон Планка для реального тела записывается следующим образом:

.

По результатам экспериментальных исследований установлено, что для многих материалов спектральный коэффициент сохраняет одинаковое значение во всем диапазоне излучения. В этом случае он численно совпадает с интегральным коэффициентом излучения. Такие тела условно называются абсолютно серыми. Тела, обладающие сильно неравномерным по длинам волн значением спектрального коэффициента излучения, называют селективно излучающими (рис. 2.6). Селективность излучения может существенно повлиять на условия теплообмена излучением между реальными телами.

В случае, если тело, на которое падает поток излучения, обладает свойствами абсолютно черного, все падающее на него излучение поглощается полностью. В отличие от абсолютно черного тела реальное поглощает не все тепловое излучение, падающее на его поверхность (Q_пад). Часть этого теплового потока (Q_погл) поглощается этим телом, часть (Q_отр) отражается от его поверхности, часть (Q_пр) проходит сквозь это тело. Из закона сохранения энергии:

Q_пад = Q_погл + Q_отр + Q_пр.

Разделив обе части выражения на Q_пад., получим:

a + ρ + d = 1.

В данном выражении a = Q_погл/Q_пад – коэффициент поглощения, ρ = Q_отр/ Q_пад – коэффициент отражения тела, d = Q_пр/ Q_пад – коэффициент прозрачности.

Коэффициенты излучения, прозрачности и отражения зависят как от свойств поверхности данного тела, так и от спектра падающего на данное тело теплового излучения. Для непрозрачного тела a + ρ = 1.

В простейшем случае, когда данное тело непрозрачно и облучается абсолютно черным, справедлив закон Кирхгофа. Вывод закона Кирхгофа можно получить для случая теплообмена в системе, когда данное тело (тело 1) целиком окружено абсолютно черным (тело 2, ε₂ =1) и не имеет никаких тепловых контактов с окружающей средой. В этом случае температура обоих тел будет одинакова (T₁ = T₂ = T), а условие теплового баланса принимает вид:

ε₁σS₁T⁴ = φ_2,1a₁(σS₂T⁴).

Если тело 1 не имеет вогнутостей и полностью окружено телом 2, φ_1,2 = 1 (все излучение первого тела попадает на второе). В соответствии с условием взаимности φ_2,1 S₂ = φ_1,2 S₁, следовательно, φ_2,1 = S₁/S₂. После подстановки этого выражения в формулу теплового баланса получим:

a ₁ = ε₁.

Соответственно для непрозрачного тела ρ₁ = 1 – ε₁ (d = 0).

Следует иметь в виду, что закон Кирхгофа строго соблюдается только при тепловом облучении данного тела абсолютно черным, имеющим такую же температуру. С небольшой погрешностью его можно применять и для расчета теплообмена тел, близких по свойствам абсолютно серым, и при небольшой разнице температур между ними. В этом случае соблюдается аналогичная связь между спектральными параметрами излучения и поглощения:

a_λ = ε_λ.

В случае теплообмена между селективно излучающими телами строгий анализ следует проводить с детальным рассмотрением теплообмена по всем длинам волн.

Много своеобразий возникает и при расчете тепловых потоков, отраженных от тел и прошедших сквозь них.

В первую очередь, при анализе отраженных потоков следует учитывать особенности распределения потоков по направлениям.

Известно, что для идеально гладких поверхностей выполняется закон зеркального отражения – угол отражения равен углу падения. Такое отражение называется зеркальным или направленным (рис. 2.7, а).

Большинство реальных тел обладает заметной шероховатостью, благодаря чему даже на относительно малом участке поверхности найдутся элементы, ориентированные так, что отраженные потоки становятся равновероятными по всем направлениям (рис. 2.7, б). Такие тела называются диффузно отражающими. Для тел с диффузным отражением распределение отраженных потоков аналогично распределению потока излучения – закон Ламберта. Возможны и промежуточные случаи диффузно направленного (рис. 2.7, в) и смешанного (рис. 2.7, г) отражения.

Так же, как и в случае отражения, поток излучения, прошедший сквозь тело, при выходе из него может сохранить направленность (рис. 2.8, а), может диффузно распределяться по направлениям (рис. 2.8, б), может быть диффузно направленным (рис. 2.8, в) и смешанным (рис. 2.8, г).

Диффузно направленное, а также смешанные отражение и пропускание используются в системах, когда поток излучения должен обладать определенной направленностью и в то же время способностью сглаживать неоднородность излучения данного источника по направлениям (защитные стекла автомобильных фар, светорассеивающие экраны световых приборов и т.д.). Поверхность защитных стекол таких приборов должна обладать строго нормированной степенью шероховатости.

П ри расчете теплового режима источников света возможны варианты теплообмена с направленными потоками и варианты с диффузным отражением. Наиболее распространенным условием в реальных приборах считается случай диффузного отражения непрозрачных тел. Такое отражение свойственно большинству изделий промышленного выпуска, когда особых требований к степени шероховатости не предъявляется. Пространственное распределение потоков при диффузном отражении в значительной мере аналогично распределению в пространстве собственных потоков излучения. Эта особенность позволяет составить систему уравнений, в которой фигурируют так называемые эффективные потоки излучения, представляющего собой сумму собственного (Е_с= εσST⁴) и всех отраженных потоков от данного тела: Е_эф = Е_с + Е_отр (так называемый метод лучистого сальдо).

Эффективным потокам излучения свойственны те же значения коэффициентов поглощения, коэффициентов отражения и угловых коэффициентов облученности, что и собственным потокам. Это позволяет составить для n тел, участвующих в теплообмене, систему из n уравнений с n неизвестными:

.

По результатам решения системы уравнений устанавливается аналитическая связь между отраженными от каждого тела потоками излучения E_отрi и значениями собственных тепловых потоков (Е_сi = ε_iσS_iT_i⁴). По этим данным находятся затем значения поглощенных потоков E_поглi = = , определяющих тепловой режим данного тела.

П римером, иллюстрирующим возможности указанной методики анализа энергообмена излучением, является расчет теплообмена между двумя телами, одно из которых (тело 1) не имеет вогнутостей (φ_1,1 = 0) и полностью охватывается телом 2 (φ_1,2 = 1) (рис. 2.9).

Из условия взаимности (S₁φ_1,2 = = S₂φ_2,1) следует: φ_2,1 = S₁/ S₂. Соответственно φ_2,2 = 1 – S₁/ S₂.

Систему уравнений теплообмена для такого случая можно записать следующим образом:

E_отр1/(1 – ε₁) – E_отр2(S₁/ S₂) = Е_с2(S₁/ S₂),

E_отр1– E_отр2[(1 - S₁/ S₂) – 1/(1 – ε₂)] = Е_с1 + Е_с2(1 – S₁/ S₂).

Решение этой системы уравнений можно выразить через так называемый результирующий тепловой поток:

E_1-2 = E_погл2 – Е_с2.

С учетом того, что

E_погл1 = , E_погл2 = , Е_с1 = ε₁σS₁T₁⁴, Е_с2 = ε₂σS₂T₂⁴,

следует:

– уравнение Христиансена.

Уравнение Христиансена иногда записывается в виде:

E_1-2 = ε₁’σS₁ (T₁⁴ – T₂⁴),

где ε₁’= – приведенный коэффициент излучения тела 1.

У равнение Христиансена может быть использовано для описания излучения шероховатой поверхности, поверхности с выступами, сложной по форме поверхности (например, спиральной нити лампы накаливания) и т.д. (рис. 2.10). В соответствии с особенностями теплового излучения таких тел в окружающее пространство телом 2 является полная излучающая часть поверхности данного тела, а тело 1 соответствует плоскости, «натянутой» на выступающие части неровностей. В соответствии с такой моделью следует принять ε₁ =1, S₁= S’ – площадь «натянутой» поверхности, T₁= T₀ – температура окружающей среды, T₂= T – температура данного тела, S₂ = S – площадь поверхности данного тела, E_1-2 = E – поток излучения данного тела в окружающее пространство. В результате получим:

E = ε’σS’(T⁴ – T₀⁴),

где ε’= .

Во многих тепловых задачах температура излучающего тела заметно выше температуры окружающего тела. Это позволяет сократить запись потока излучения до выражения

E = ε’σS’T⁴ ,

обеспечивающего удобную форму учета шероховатости и наличия ребер излучения, тем более что при оценке влияния шероховатости (малых, почти невидимых на глаз выступов) S’соответствует видимым размерам излучающего тела.

Нетрудно заметить, что в случае идеально гладкой поверхности, когда S’ = S, ε’ = ε. В случае, когда размеры поверхности с выступами много больше натянутой (S’<<S ), ε’→ 1 (модель абсолютно черного тела).

Завершающим этапом расчета теплообмена излучением элементов конструкции световых приборов и объектов, нагреваемых излучением, является расчет теплоотдачи излучением, конвекцией и теплопроводностью нагретого тела в окружающее пространство.

Поток тепла, создаваемый теплопроводностью, описывается уравнением Фурье:

Q_λ = – λS_п grad(T).

В этой формуле λ – коэффициент теплопроводности материала элементов конструкции, участвующих в теплоотводе теплопроводностью, S_п – площадь поперечного сечения элемента, grad(T) – градиент температуры в данном сечении теплопроводника.

Теплоотдача конвекцией от нагретых тел в окружающее пространство описывается уравнением Ньютона:

Q_к = αS_a(T_a – T_s).

В этой формуле α – коэффициент теплоотдачи поверхности теплообмена, S_a – площадь охлаждаемой поверхности, T_a – температура поверхности, T_s – температура охлаждающей среды.

Методы решения задач теплового расчета нагретых тел при комплексном теплообмене изложены в специальной литературе [10, 11] и, в частности, в случае теплового расчета электронных приборов, [12].