6.3 Визначення показників функціонування транспортних об’єктів

Знаючи можливі стани системи та їх ймовірності, є можливість розрахувати параметри розподілу основних показників функціонування, до яких відносяться: кількість заявок, що знаходяться в системі в очікуванні обслуговування, під обслуговуванням, та взагалі; тривалість знаходження в системі у стані очікування обслуговування, під обслуговуванням, та взагалі в системі.

Як відомо з математичної статистики, математичне очікування випадкової величини знаходиться як . Знаючи можливі випадкові стани системи (n) та відповідні ймовірності (Р_n), можна розрахувати:

- середню кількість заявок в системі ;

- середню кількість заявок під обслуговуванням ;

- середню кількість заявок у стані очікування .

Для системи з необмеженою кількістю станів перелічені показники можна визначити наступним чином

; (6.26)

; (6.27)

. (6.28)

Проміжні алгебраїчні перетворення тут вилучені, як такі, що не мають особливої цікавості. Хто зі студентів бажає їх прослідкувати повністю має можливість зробити це самостійно, або з допомогою спеціальної літератури.

Тут важливо розуміти, що вирази (6.26)..(6.28) можна застосовувати для визначення показників функціонування у випадку: найпростіший вхідний потік та показниковий закон розподілу тривалості обслуговування, або υ_вх= 1 і υ_обс= 1, і тільки для системи з одним пристроєм обслуговування..

В інших випадках неможливо в аналітичному вигляді вивести формули для розрахунку ймовірностей станів системи, тому неможливо і отримати формули розрахунку показників. У цьому разі використовують емпіричні (приблизні) формули, з яких для випадку υ_вх< 1 і υ_обс< 1 і одного пристрою обслуговування можуть бути рекомендовані для розрахунків наступні:

; (6.29)

; (6.30)

; (6.31)

. (6.32)

З використанням M[n_оч] можна визначити середню тривалість знаходження заявок:

- в очікуванні обслуговування ; (6.31)

- загалом в системі . (6.32)

6.4 Визначення потрібної кількості місць для розміщення заявок на транспортному об’єкті

У загальному вигляді потреба технічних пристроїв для обслуговування заявок може бути визначена як ,

де Q – обсяг роботи, яку потрібно виконати;

R – продуктивність одного пристрою обслуговування.

Аналогічно можна визначити і потрібну кількість місць для розміщення заявок під час їх знаходження на об’єкті (кількість колій у парку станції):

, (6.33)

де ΣNt – загальна тривалість знаходження на об’єкті усіх заявок на протязі доби;

24 – можлива тривалість заняття одного місця (колії) за добу.

Окрема заявка займає місце (колію) в процесі її прийому на об’єкт та відправлення з нього, під очікуванням обслуговування та в процесі обслуговування, тобто

T_зан = t_пр+ t_оч+ t_обс+ t_від. (6.34)

Тоді потрібна кількість місць для розміщення заявок може бути визначена як

, (6.35)

де N – кількість заявок за добу.

У формулі (6.34) елементи t_пр, t_від можна вважати відносно стабільними, тобто як постійні величини, а елементи t_оч, t_обс – як випадкові, і записати (6.35) у вигляді

. (6.36)

Величина (t_пр + t_від) у залежності від категорії поїзда може становити від 10 до 20 хвилин (0.17-0,33 години), тоді перший елемент в (6.36) буде становити 0.015N. Другий елемент за змістом становить кількість заявок, які знаходяться на об’єкті в окремий момент часу (n), і являє собою випадкову величину. Враховуючи сказане, маємо

m = 0.015N + n. (6.37)

До (6.37) входить випадкова величина n – кількість заявок в системі в окремий момент часу. Яке ж значення цієї величини потрібно підставляти у формулу? Для знаходження відповіді розглянемо розподілення випадкової величини n у графічному вигляді (рис. 6.4).

Якщо в (6.37) підставити середню кількість заявок на об’єкті M[n], то отримаємо кількість місць, яка приблизно у половині випадків буде недостатньою, тому що половина випадків мають більші значення, ніж M[n]. Якщо у якості розрахункового значення випадкової величини прийняти n_p = M[n] +1σ[n], то кількість колій буде більшою, і достатньою для розміщення заявок у більшій кількості випадків.

З достатньою точністю можна вважати, що випадкова величина n має розподіл, близький до нормального закону. А для цього закону можна визначити ймовірність того, що випадкова величина буде приймати значення більші або менші за будь-яке задане число, тобто P(n > n_p) чи P(n < n_p). Якщо розрахункове значення визначати за формулою

n_p = M[n] + t_н σ[n],

де t_н – нормоване відхилення випадкової величини, тобто кількість середніх квадратичних відхилень, які беруться відносно математичного очікування.

У залежності від величини з допомогою таблиць, які є у будь-якому підручнику з теорії ймовірностей, можна визначити P(n < n_p). Для деяких t_н величини P(n < n_p) наведені у табл.6.1.

Таблиця 6.1

tн	P(n < np)
0	0,500
1	0,841
1,5	0,933
2	0,977
2,5	0,994
3	0,999

В результаті, з допомогою наведених даних, можливо визначити розрахункове значення випадкової величини, яке забезпечить отримання результату з потрібним рівнем надійності, тобто ймовірністю того що кількість місць буде достатньою у різних випадках надходження заявок на об’єкт.

Наприклад, якщо потрібно забезпечити наявність місць з надійністю не менше 0,977, то потрібно прийняти до розрахунку нормоване відхилення tн = 2 (див. табл. 6.1).

Для транспортних об’єктів економічно доцільна надійність забезпечення потрібної кількості колій (а звідси і безперешкодного прийняття заявок) 0,93-0,95, що відповідає величині tн ≈ 1,5. Тоді формула для розрахунку потрібної кількості колій у парку станції для забезпечення безперешкодного прийняття поїздів (з додатковою одною колією) матиме вигляд:

m = 0.015N + M[n_c] + 1.5 σ[n_c] + 1, (6.38)

де n_c – випадкова величина кількості заявок у системі в довільний момент часу.