6.2 Визначення ймовірностей станів систем з марковським процесом

Зробити математичний опис випадкового процесу – це значить отримати формулу для визначення ймовірності будь-якого стану системи у довільний момент часу P_n = f(T). Розглянемо методику отримання такого опису для марковського процесу з дискретними станами (n = 0, 1, 2 ..) і неперервним часом. Випадковий процес, елемент якого розглянуто на рис. 6.2 можна подати у вигляді функціональної схеми (рис. 6.3), на якій перелічені усі можливі стани системи (показано квадратами) і можливі переходи системи зі стану в стан (показано стрілочками) за елементарний проміжок часу (Δt→0).

Розглянемо зміст цієї схеми. Чому приведено тільки 4 можливих стани системи? Згідно з графіком на рис. 6.1 парк станції має три колії, отже можливі його стани наступні: відсутні поїзда у парку – стан 0 (n=0); у парку знаходиться 1 поїзд – стан 1 (n=1); у парку знаходиться 2 поїзда – стан 2 (n=2); у парку знаходиться 3 поїзда – стан 3 (n=3). Інші стани при трьох коліях у парку неможливі (якщо не приймати до уваги ті поїзда, що можуть знаходитись перед парком у стані очікування прийому у зв’язку із заняттям усіх колій). Таким чином, на графі станів наведені усі можливі стани парку, які показані квадратами. Дугами зі стрілочками показані можливі переходи системи зі стану в стан і відповідно підписані Р_i-j, що означає ймовірність переходу системи зі стану і в стан j.

Може виникнути запитання, а чому не розглядаються переходи системи зі стану 1 в стан 3, чи зі стану 2 в стан 0? Пояснення полягає у тому, що розглядається марковський процес з найпростішим вхідним потоком, отже за елементарний проміжок часу (Δt→0) згідно з властивістю ординарності не може відбутися двох чи більше подій які полягають у прибутті двох чи більше поїздів. Таким чином, збільшення стану системи може відбутися тільки на одиницю, або не змінитися. Зменшення стану системи пов’язане з закінченням обслуговування поїздів, А тривалість обслуговування також володіє ординарністю і за (Δt→0) може закінчитись обслуговування не більше, ніж одного поїзда, або жодного. Таким чином, переходи системи в силу ординарності можуть відбуватися тільки між суміжними станами, які відрізняються на одиницю, або система залишає свій стан без зміни (Р_i-j, при i=j) якщо не відбувається прибуття поїзда і не завершується обробка.

Нарешті відзначимо, що збільшення стану системи пов’язано з прибуттям поїздів і відбувається пропорційно інтенсивності вхідного потоку, а зменшення стану системи пов’язане з обслуговуванням, і відбувається пропорційно інтенсивності обслуговування.

Визначимо спочатку перехідні ймовірності Р_i-j, які описують можливість переходу системи між суміжними станами. Якщо відома інтенсивність, з якою в середньому відбуваються події (λ або μ), можна визначити їх середню кількість за час t: m = λt – по прибуттю; m = μ t – по закінченню обслуговування.

Умовно поділимо відрізок t на n→∞ частин, так що . Ймовірність того, що на окрему частину Δt попаде одна подія можна визначити як – для прибуття заявок, і – для обслуговування. Величини р′ являють собою перехідні ймовірності системи, причому: р′ = λ Δt – з меншого стану у більший (і → і+1), р′ = μ Δt – з більшого стану в менший. Визначивши перехідні ймовірності можна перейти до визначення ймовірностей станів.

Розглянемо спочатку стан системи 0 (тобто в системі відсутні заявки) і поставимо запитання: яким чином може статися, система у будь-який момент (Т + Δt) буде знаходитись у цьому стані? Це може статися двома шляхами:

перший – у попередній момент ( Т ) система була у стані 1 і за час Δt перейшла з нього у стан 0;

другий – у попередній момент ( Т ) система була у стані 0 і за час Δt не вийшла з нього. Інші варіанти, за якими система може опинитися у стані 0, відсутні.

Розглядаючи описане як випадкові події з відомими ймовірностями, можна записати рівняння для визначення ймовірності результату, тобто знаходження системи у стані 0:

. (6.1)

Для стану 1 таких випадків більше, а саме: в момент (Т + Δt) система може опинитися у стані 1 такими шляхами

перший – у попередній момент ( Т ) система була у стані 2 і за час Δt перейшла з нього у стан 1;

другий – у попередній момент ( Т ) система була у стані 0 і за час Δt перейшла з нього у стан 1;

другий – у попередній момент ( Т ) система була у стані 1 і за час Δt не вийшла з нього. Рівняння ймовірностей для стану 1 матиме вигляд:

. (6.2)

Аналогічно (без пояснення) запишемо рівняння для станів 2 і 3:

(6.3)

. (6.4)

Зробимо деякі-які алгебраїчні перетворення з (6.1):

- перенесемо Р₀(Т) в ліву частину ;

- підставимо вирази для р′

- поділимо обидві частини на Δt .

Зверніть увагу, що ліва частина останнього рівняння являє собою похідну величини Р₀(Т), тобто маємо . (6.5)

Якщо виконати подібні перетворення з рівняннями (6.2), (6.3), (6.4) з урахуванням (6.5) отримаємо систему рівнянь:

;

;

.

Ця система рівнянь має назву „система рівнянь Колмогорова” і може бути розв’язана стандартним шляхом інтегрування. А можна прийняти до уваги той факт, що ймовірності станів системи з випадковим процесом при Т→∞ приймає конкретне значення, наприклад, Р₁ = 0,2 , що характеризує середню частку часу знаходження системи у стані 1. А, як відомо, похідна від постійної величини дорівнює нулю, тобто Р′_n = 0. Тоді останню систему рівнянь можна записати у вигляді:

; (6.6)

; (6.7)

; (6.8)

. (6.9)

Враховуючи (6.6), рівняння (6.7) має вигляд: . (6.10)

Враховуючи (6.10), рівняння (6.8) має вигляд: . (6.11)

В результаті отримаємо нову систему рівнянь:

; (6.12)

; (6.13)

; (6.14)

. (6.15)

Два останні рівняння цієї системи однакові, а при 4-х невідомих однозначного рішення не отримаємо. Але нам додатково відомо, що розглянуті стани системи являють собою повну групу випадкових подій, що дозволяє замість (6.15) записати:

.

І тоді отримаємо нову систему:

;

;

;

.

Поділимо у трьох перших рівнянь обидві частини на μ:

; (6.16)

; (6.17)

; (6.18)

. (6.19)

Відношення λ/μ називається коефіцієнтом завантаження системи і позначається

, (6.20)

і показує ступінь завантаження системи. Величина λ характеризує обсяг роботи, величина μ – продуктивність системи. Для нормального функціонування системи повинна виконуватися умова:

, або μ > λ.

Якщо при виконанні розрахунків отримано ψ>1, або μ < λ – це свідчить, що система не здатна виконати потрібний обсяг роботи. З урахуванням (6.20) система (6.16)..(6.19) матиме вигляд (для спрощення запису елемент (Т) опускаємо):

; (6.16)

; → ; (6.17)

; → ; (6.18)

;→ . (6.19)

З останнього рівняння можемо знайти: , (6.20)

а ймовірність будь-якого іншого стану розраховується як . (6.21)

Тут отримано математичний опис ймовірності станів для системи з чотирма можливими станами. Якщо узагальнити рівняння (6.20) для будь-якої кількості станів, можна записати:

, (6.22)

де m – кількість можливих станів системи.

Знаменник (6.22) являє собою геометричну прогресію з першим елементом b₁=1 коефіцієнтом (множником) q = ψ < 1 та кількістю елементів m. У цьому випадку сума елементів геометричної прогресії визначається наступним чином

.

Тоді загальна формула для розрахунку нульового стану системи матиме вигляд:

. (6.23)

Потрібно звернути увагу на те, що формула (6.23) отримана для системи з обмеженою кількістю можливих станів. Для таких систем характерно, що заявки, які намагаються прибути в систему, а вільні місця для їх розміщення в системі відсутні (усі зайняті), залишають систему не обслугованими (відмова в обслуговуванні).

Для транспортних систем така ситуація не характерна. Можна собі уявити, щоб поїзд, який прибуває на станцію, у випадку відсутності вільних колій залишив систему і повернув у інший бік на іншу станцію? У цьому випадку він затримується на підході до станції до моменту звільнення першої ж колії. А за ним можуть стояти у черзі інші поїзда – аж до Одеси. Очевидно, що ці заявки знаходяться в системі (але не на станції, а перед нею), входять до кількості заявок в системі, впливають на показники функціонування в негативному змісті. Чи можна їх вилучати з обліку? Ні не можна. Таким чином, транспортні системи при математичному опису процесів потрібно розглядати як системи з необмеженою кількістю станів, щоб вірно розрахувати показники функціонування.

Розглянемо (6.23) з позиції необмеженої кількості станів (m→∞). У цьому випадку у знаменнику елемент , і ймовірність нульового стану системи дорівнює

, (6.24)

а загальна формула для будь-якого стану має вигляд . (6.25)