Задача №1 равновесие плоской системы параллельных сил

Определить реакции связей для балок, изображенных на рисунке.

Примечание: каждый вариант включает в себя две схемы балок.

ПРИМЕР 1.

Балка АВ весом Р и длиной l заделана правым концом в стену. В точке А на балку действует вертикальная сила F. Определить реакцию стены.

РЕШЕНИЕ

Отбросим связь–стену и заменим её действие реакцией (рис.в). Горизонтальная составляющая реакции стены равна в данном случае нулю, так как все активные силы, действующие на балку, вертикальны. Реакция стены состоит из вертикальной составляющей R_B и пары сил с моментом М.

Выбираем оси координат: ось х направлена по балке АВ, ось у – по вертикали из точки А.

Запишем уравнение равновесия. Для плоской системы параллельных сил имеем два уравнения равновесия. Возьмём следующие уравнения – сумму проекций сил на ось у и сумму моментов всех сил относительно точки В:

Из первого уравнения находим силу .

Из второго уравнения определяем момент пары сил .

ПРИМЕР 2.

Двухконсольная горизонтальная балка шарнирно закреплена в точке А и опирается на каток в точке В. На балку действует вертикальная сила Р=20 Н, приложенная в точке D, равномерно распределённая вертикальная нагрузка на участке ВС интенсивностью q=25 Н/м и пара сил, момент которой равен М=40 Нм. Длины участков: AD=3 м, АВ=4 м, ВС=3 м. Определить реакции опор, пренебрегая весом балки.

РЕШЕНИЕ

Отбросим мысленно связи и заменим их реакциями. Реакция в точке В R_В направлена по вертикали. Реакция шарнира А может иметь любое направление в плоскости. Поэтому заменяем её двумя составляющими Х_А и У_А . Распределённую нагрузку заменим силой . Сила Q приложена в середине участка ВС.

Проведем оси координат (рис.в) и запишем уравнения равновесия. Так как проекция силы Х_А является единственной силой, проецирующейся на ось Х, то, следовательно, Х_А=0.

Заметим, что сумма проекций сил, образующих пару, на любую ось равна нулю, так как силы, образующие пару сил, равны Модулу, параллельны и направлены в противоположные стороны.

Итак, учитывая, что Х_А=0, имеем систему параллельных сил. Записываем для такой системы два уравнения равновесия, при этом следует стремиться к таким уравнениям равновесия, в каждое из которых входила бы только одна неизвестная величина. Для двухопорных балок это сумма моментов относительно опор.

Находим реакции:

Для проверки решения можно составить «лишнее» уравнение равновесия.

Варианты задачи 1.

ЗАДАЧА №2

РАВНОВЕСИЕ ПЛОСКОЙ

СИСТЕМЫ СИЛ

(общий случай)

Найти реакции связей рамы, схема которой представлена на рисунке.

ПРИМЕР

Дано: F = 10 кН, P = 5 кН, M = 8 кНм, q = 0,5 кН/м. Определить реакцию опоры А и реакцию стержня BD.

РЕШЕНИЕ

На раму наложены следующие связи: шарнирно-неподвижная опора, стержень BD и нить. Отбросим связи, заменив их силами.

Так как направление реакции шарнирно-неподвижной опоры А неизвестно, то определим её составляющие и . Реакция стержня направлена вдоль этого стержня, реакция нити по модулю равна весу груза Р. Распределённую нагрузку интенсивностью q заменим сосредоточенной силой Q, равной кН и приложенной в центре тяжести эпюры этой нагрузки. Проводим оси координат.

Для плоской системы сил, приложенных к раме, составим три уравнения равновесия:

; (1)

; (2)

(3)

Момент от силы S найден с использованием теоремы Вариньона: момент равнодействующей равен сумме моментов составляющих.

Из уравнения (3) находим

Из уравнения (1) –

Из уравнения (2) –

Ответ: , ,

Знаки минус в значениях Х_А и У_А указывают на то, что принятые направления этих сил противоположны действительным.

Варианты задачи 2.