Решение

Механическая система состоит из трех тел, взаимодействующих посредством нити. В таких случаях рассматривают отдельно движение каждого тела, мысленно разрывая нить и заменяя действие других тел на данное силой натяжения нити. Силы, действующие на каждое тело, показаны на рис. 7. При этом следует учесть, что для сил взаимодействия двух тел выполняется третий закон Ньютона:

; ; модули сил ; (1)

Дано

; ; ; .

Рис. 7

Запишем законы динамики движения тел системы, учитывая, что гири движутся поступательно, а блок вращается. Для поступательного движения тел используем второй закон Ньютона:

; (2)

. (3)

У

равнение (2) в проекциях на оси x и y имеет следующий вид:

ось x: ; (4)

ось y: . (5)

В уравнении (4) сила трения ; заменяя, согласно уравнению (5), , получаем формулу С учетом этого перепишем уравнение (4) в виде:

. (6)

Уравнение (3) запишем в проекции на ось x, направленную вдоль ускорения второй гири:

. (7)

Закон динамики вращения блока относительно неподвижной оси z имеет следующий вид:

, (8)

где – момент инерции блока (диска) относительно его оси симметрии; – угловое ускорение блока; оно связано с линейным ускорением точек на его периметре формулой , причем, величина равна ускорению нити, не проскальзывающей по блоку, а следовательно, и ускорению гирь; – моменты сил натяжения нити .

Из рисунка (см. рис. 7) видно, что момент силы вращает блок против часовой стрелки, а момент силы препятствует этому вращению, стремясь повернуть блок по часовой стрелке. Соответственно вектор , – они направлены по оси вращения z, перпендикулярной плоскости рисунка. Поэтому модуль равнодействующего момента сил

. (9)

Здесь учтено, что плечо обеих сил натяжения нити равно радиусу диска R.

С использованием формул для уравнение (8) принимает следующий вид:

. (10)

Таким образом, получили систему трех уравнений законов динамики движения тел (6), (7) и (10), позволяющих найти 3 неизвестные величины ( ) в виде:

;

; (11)

;

Заметим, что при сложении уравнений системы (11) неизвестные величины исключаются (сумма этих слагаемых равна нулю) и получаем уравнение с одной неизвестной величиной

.

Выразим определяемую величину ускорения гирь:

.

Вычисляем .

Силу натяжения нити выразим из закона динамики (7):

,

а силу натяжения нити – из закона динамики вращения блока (третье уравнение в системе уравнений (11)):

.

Вычисляем силы натяжения:

; .

Задача 7. На обод маховика радиусом намотан нерастяжимый шнур, к концу которого привязан груз массой кг. Определите момент инерции маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время приобрел угловую скорость .

Дано Решение ; 2 кг; 3 с; ; • .

Составим систему уравнений движения двух связанных шнуром тел (рис. 8), одно из которых: груз, – совершает поступательное движение, а другое: маховик, – вращательное.

Запишем закон динамики движения груза – второй закон Ньютона: .

В проекции на ось

. (1)

Основной закон динамики вращательного движения маховика

.

Так как векторы и сонаправлены, то в скалярном виде

(2)

Из закона динамики (2) выразим определяемую величину момента инерции маховика:

. (3)

Угловое ускорение для равноускоренного движения маховика

. (4)

Момент силы натяжения шнура

.

Так как угол между радиус-вектором , проведенным от оси вращения в точку приложения силы натяжения шнура, и силой натяжения равен 90⁰ (см. рис. 8), а численное значение радиус-вектора равно радиусу маховика R, то для момента силы натяжения получаем следующее выражение:

Силу натяжения шнура найдем, используя закон движения груза (1). По третьему закону Ньютона для взаимодействия груза и маховика посредством шнура силы натяжения численно равны: Тогда формула для момента силы, вращающей маховик, принимает вид:

(5)

Значение находим из уравнения движения груза (1):

(6)

Здесь ускорение груза a равно ускорению любой точки нерастяжимого шнура, в том числе и точки, находящейся на ободе маховика, для которой запишем связь линейного и углового ускорения в виде:

(7)

С учетом выражений (6) и (7) формула (5) для момента силы принимает следующий вид:

(8)

Подставим выражение (8) в формулу (3) для расчета момента инерции и заменим угловое ускорение по формуле (4). Так получаем расчетную формулу для определения момента инерции маховика динамическим методом:

, или .

Проверим полученную формулу по единицам измерения величин:

.

Получили единицу измерения момента инерции I, следовательно, расчетная формула верна. Вычисляем по ней момент инерции маховика

.

Задача 8. Какой кинетической энергией обладает велосипедист с велосипедом при скорости движения ? Масса велосипедиста вместе с велосипедом , в том числе масса каждого колеса велосипеда ; массу колеса считать распределенной по ободу.

Дано ; ; .

Решение Кинетическая энергия велосипедиста вместе с велосипедом складывается из двух слагаемых: энергии их поступательного движения и энергии вращательного движения колес. Колеса участвуют одновременно в этих двух видах движения. Кинетическая энергия поступательного движения

равна Кинетическая энергия вращательного движения колеса равна , где I – момент инерции колеса. Он равен , так как массу считаем распределенной по ободу радиусом . С учетом того, что угловая скорость вращения связана с линейной скоростью формулой , кинетическую энергию вращательного движения колеса можно записать через скорость поступательного движения:

.

Тогда полная кинетическая энергия велосипедиста с велосипедом

.

Найдем численное значение кинетической энергии:

.