3.4. Механические колебания

Задача 16. Пружинный маятник жесткостью совершает гармонические колебания. Масса груза , максимальная скорость груза . Определите циклическую частоту , период и амплитуду колебаний .

Дано Решение

; ; .

Циклическая частота колебаний пружинного маятника определяется формулой

, (1)

где k – жесткость пружины; m – масса груза.

Вычисляем частоту

Период колебаний связан с циклической частотой формулой .

Вычисляем период колебаний

Амплитуду колебаний определим, рассчитывая полную механическую энергию груза, совершающего колебания:

(2)

При колебаниях груза по закону происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, причем, в крайних положениях груза, когда смещение , скорость груза и величина . Следовательно, согласно равенству (2), полная механическая энергия груза

(3)

При движении груза из крайнего положения потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию и в положении равновесия смещение и потенциальная энергия . При этом полная механическая энергия равна максимальной кинетической энергии груза:

. (4)

Приравняем значения полной механической энергии груза, определяемой формулами (3) и (4):

(5)

Из соотношения (5) выразим определяемую амплитуду колебаний груза

; с учетом формулы (1) получаем .

Вычисляем:

Задача 17. Частица массой совершает гармонические колебания по закону Определите период колебаний , максимальную скорость частицы и ее механическую энергию .

Дано Решение

; .

Запишем закон гармонических колебаний частицы в виде:

(1)

Сравнивая с заданным уравнением движения

, (2)

видим, что циклическая частота колебаний . Период колебаний связан с циклической частотой формулой

.

Подставляя в эту формулу найденное значение частоты, вычисляем:

.

Скорость движения частицы определяем как первую производную от смещения

.

Получили гармонический закон колебаний величины скорости в виде

,

где амплитуда скорости частицы .

Полная механическая энергия E частицы, совершающей гармонические колебания (см. решение задачи 16) выражается формулой:

, или .

Вычисляем величину механической энергии колеблющейся частицы:

.

Задача 18. Материальная точка (МТ) массой m 10 г совершает гармонические колебания по закону . Определите амплитуду колебаний МТ, модуль ее скорости и силу , действующую на МТ в момент времени .

Дано Решение

m 10 г ; ; .

Запишем закон гармонических колебаний МТ в виде

(1)

и сравним с заданным законом движения:

(2)

Из сопоставления уравнений (1) и (2) видим, что амплитуда колебаний .

Скорость МТ найдем как первую производную от зависимости координаты от времени , представленной уравнением (2):

. (3)

Вычислим по уравнению (3) значение скорости в момент времени :

Знак «минус» – отрицательная проекция скорости на ось x, означает, что вектор скорости колеблющейся материальной точки в момент времени направлен противоположно оси .

Силу, действующую на МТ, найдем по закону динамики движения – по второму закону Ньютона:

(4)

Для определения ускорения материальной точки (точнее, его проекции на ось x) используем определительную формулу:

,

где зависимость представлена уравнением (3); дифференцируя его, получаем проекцию ускорения на ось , как функцию времени:

,  (5)

Подставляя выражение (5) в формулу закона динамики (4), находим закон изменения силы при гармонических колебаниях МТ в виде:

(6)

С учетом закона колебаний (2) уравнение (6) запишем в следующем виде:

(7)

Уравнения (6) и (7) показывают, что упругая (или подобная ей сила) изменяется с течением времени по гармоническому закону, как и величина смещения МТ от положения равновесия.

Вычисляем величину проекции силы, действующей на колеблющуюся МТ в момент времени

.