Практичне заняття № 12

Тема: Ряди.

Мета: Формувати навички знаходження загального члену ряду, частинних сум, дослідження ряду на збіжність, розкладання функції в ряд Тейлора та Маклорена.

Література:

1. Клепко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах: Навчальний посібник. 2-е вид. – К.: Центр учбової літератури, 2009., ст. 495-519, 525-534.

2. Шипачев В.С. Высшая математика. Учеб. для ВУЗов. – 4-е изд. – М.: Высш. школа, 1998., стр. 379-402.

3. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика: практикум. – К.: ЦУЛ, 2003., ст. 401-413, 423-426, 499-502.

4. Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: збірник задач. – К.: А.С.К., 2004., ст. 496-527.

При виконанні практичної роботи учень повинен

знати: властивості збіжних рядів; необхідну умову збіжності ряду; означення геометричної прогресії; ознаки збіжності (порівняння, Даламбера, Коші, Лейбніца); поняття степеневого ряду; формули рядів Тейлора та Маклорена.

вміти: знаходити загальний член ряду; перевіряти ряди на збіжність за різними ознаками; розкладати функцію в ряд Тейлора та Маклорена.

Основні теоретичні відомості та вказівки

Нехай задана числова послідовність , . Тоді вираз називається числовим рядом і позначається .

називається загальним членом ряду.

Суми , , …, ,… називаються частковими сумами числового ряду.

Якщо існує границя , то вона називається сумою ряду.

Р яд називається збіжним, якщо послідовність його часткових сум збігається. Якщо послідовність часткових сум ряду розбігається, то він називається розбіжним.

Теорема 1 (необхідна умова збіжності ряду): Якщо ряд із загальним членом збігається, то при . Тобто: .

Теорема 2: Якщо ряди із загальними членами та збігаються та , , то для будь-яких чисел та ряд із загальним членом збігається та .

Ряд виду називається гармонійним. Гармонійний ряд є розбіжним.

Ряди зі знакододатніми членами:

Теорема 1: Якщо послідовність часткових сум ряда з невід’ємними членами обмежена, то ряд збігається. Якщо послідовність часткових сум ряда з невід’ємними членами необмежена, то ряд розбігається до + .

Теорема 2 (ознака порівняння): Нехай для рядів та виконується умова: існує таке , що для всіх . Тоді, якщо ряд збігається, то і ряд також збігається; якщо ряд розбігається, то і ряд також розбігається.

Лема: Нехай задан ряд з додатніми членами. Тоді якщо існує таке число , що для всіх , то ряд збігається. Якщо ж для всіх , то ряд розбігається.

Теорема 3 (ознака Даламбера): Нехай для ряда з додатніми членами виконується умова . Тоді якщо , то ряд збігається, а якщо , то ряд розбігається.

А бсолютно та умовно збіжні ряди:

Теорема 1: Якщо ряд збігається, то ряд також збігається.

Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд .

Теорема 2: Нехай для ряда виконується умова . Тоді якщо , то ряд збігається абсолютно, а якщо , то ряд розбігається.

Теорема 3 (ознака Лейбніца): Якщо послідовність з додатніх чисел спадає та , то ряд збігається.

Ряд називається умовно збіжним, якщо він є збіжним, але не є абсолютно збіжним.