3.3.1.2. Иллюстрация определения стабилизирующей обратной связи (Пример 3.6)

Пример 3.6. Объект описывается уравнением (TD³+ D²)y = 0. Из уравнения видно, что объект неустойчив, т.к. не выполняются необходимые условия – строгая положительность всех коэффициентов. Требуется стабилизировать объект введением обратной связи.

Характеристический полином имеет вид: Tp³+ p²= 0; его корниp₁= -1/T, р₂=p₃= 0 – неотрицательны..

Для стабилизации введем обратную связь в виде u = -k₀y - k₁Dy - k₂D²y. Коэффициентыk_i следует определить так, чтобы объект с замкнутой обратной связью становился устойчивым. Для этого подставим уравнения объекта и обратной связи в (3.22). В результате получаем:

(TD³ + D²)y = - k₀y - k₁Dy - k₂D²y

или [TD³ +(1 + k₂) D² + k₁D + k₀] y = 0.

Характеристический многочлен получается в виде:

Tр³+(1 + k₂) р²+ k₁р + k₀= 0.

Определим его коэффициенты так, чтобы все корни были отрицательными, например - с^-1, где с0. Вследствие невысокого порядка можно непосредственно вычислить

(p+ 1/c)³= 0,p³+ (3/c)p²+ (3/c² )p+ 1/c³= 0.

Приравниваем коэффициенты 3/c=(1+k₂)/ Tk₂= (3T/c), аналогично k₁= 3T/c², k₀= T/c³.

В результате объект с обратной связью будет описываться уравнением:

(TD³ +(1 + 3T/c)D² + 3T/c²D + T/c³)y = 0.

В полученном уравнении присутствуют положительные коэффициенты перед производными всех порядков, включая нулевой.

Величину с можно варьировать и тем самым влиять на скорость затухания эффектов от ненулевых начальных условий.

3.3.2. Общий алгоритм стабилизации

3.3.2.1. Общий вид обратной связи

Пусть теперь (D) произвольный многочлен степени не вышеn. В этом случае передаточная функция по каналу управление – выход строго реализуема. Примем закон управления в более общем, чем (3.24), виде. Пусть обратная связь строится в виде решения уравнения:

m(D)u_f(t) = -k(D)y(t) (3.31)

где m(D) - произвольный многочлен, отличный от нуля.

При m(D) =1 имеем частный случай (3.24). Часто встречается более общий закон ПИД (пропорционально-интегрально-дифференциальный)

u_f(t) = - k₀  y(t) dt - k₁ y(t) - k₂ dy(t)/dt ,

что эквивалентно дифференциальному уравнению

Du(t) = - ( k₀ + k₁D + k₂D²) y(t), (3.32)

записываемому в виде (3.31) при m(D) =D.

3.3.2.2. Замкнутое представление объекта и обратной связи

Подставим в уравнение объекта (3.16) закон управления u(t) = u_f(t) + u_n(t), где u_n(t) - программное управление. Тогда уравнение объекта (3.16) и уравнение обратной связи (3.31) образуют систему:

(D) y(t) = (D)[ u_f (t) + u_n (t)] + (D) v(t), (3.33)

m(D)u_f(t) = -k(D)y(t).

Исключив обратную связь и преобразовав по Лапласу, получим

[(p)m(p) + (p) k(p)]Y(p) = m(p)[(p) U_n(p) + (p)V(p)]. (3.34)

Характеристический полином замкнутой системы имеет вид

(p) =(p)m(p) +(p)k(p). (3.35)

Теорема 1. Пусть многочлены (р),(р) являются взаимно простыми. Тогда многочленыk(p),m(p) , определяющие вид обратной связи (3.31), могут быть выбраны так, чтобы характеристический многочлен замкнутой системы(р) имел произвольные наперед заданные коэффициенты, т.е. заданное расположение корней.

Следствие. Пусть многочлены являются взаимно простыми или имеют в качестве наибольшего общего делителя устойчивый многочлен. Тогда можно выбрать обратную связь вида (3.31), обеспечивающую устойчивость замкнутой системы при неустойчивом объекте. В противном случае стабилизация объекта невозможна.