4.2.2.3. Принцип перехода к многошаговой задаче
Определение многошагового управления осуществляется в соответствии с принципом оптимальности Беллмана. Последовательность определения такова: найденное управление подставляется в критерий и находится его значение. Затем решается двухшаговая задача. Для исключения путаницы обозначим u*(N-1) уже найденные значения оптимальных управлений.
Критерий для двухшаговой задачи принимается в виде:
Q2=
{[xT(N-1)V1(N-1)x(N-1)+uT(N-2)V2(N-2)u(N-2)]
+
+ [xT(N)V1(N)x(N) + u*T(N-1)V2(N-1) u* (N-1)]}. (4.27’)
На втором шаге находится управление u(N-2). При этом учитывается, чтоu*(N-1) уже определено, его выбор не влияет наx(N-1). Значениеx(N-1) может быть определено (оно вычисляется подстановкой управленияu*(N-1)) в модель системы (4.19). Минимальное значение критерияQ1уже найдено. Поэтому минимизацияQ2достигается соответствующим выборомu(N-2). Для их определения достаточно решить задачу
Q2=
{[xT(N-1)V1(N-1)x(N-1)+uT(N-2)V2(N-2)u(N-2)]
+Q1}. (4.27)
Из (4.27) видно, что для определения u(N-2) нужно решить такую же задачу, которая была рассмотрена дляu(N-1), т.к. (4.27) ничем не отличается от (4.23). Процедура определения управлений на всех дальнейших шагах, вплоть доu(0), абсолютно одинакова.
Кроме того, можно показать, что управления на каждом следующем шаге и значения критерия оптимальности выражаются с помощью рекуррентных формул через предыдущие. Это делает процедуру определения оптимального линейного регулятора для многошагового процесса достаточно простой при цифровой реализации.