4.2.2. Синтез одношагового оптимального управления

4.2.2.1. Формирование критерия для одношаговой задачи

Рассмотрим решение одношаговой задачи определения u(N-1) и сформируем критерий оптимальности (4.20) с учетом модели объекта (4.19). Обозначим

Q₁=[x^T(N)V₁(N)x(N) +u^T(N-1)V₂(N-1)u(N-1)]. (4.22)

Значения состояний в N-й момент времени могут быть определены на основании значений в предыдущий момент по модели (4.19)

x(N) = A(N-1)x(N-1) + B(N-1)u(N-1).

Подставив этот результат в (4.22), получим

Q₁={[A(N-1)x(N-1) +B(N-1)u(N-1)]^TV₁(N) [A(N-1)x(N-1) +

+ B(N-1)u(N-1)] + u^T (N-1)V₂(N-1)u(N-1)} =

={x^T(N-1)A^T(N-1)V₁(N)A(N-1)x(N-1)+x^T(N-1)A^T(N-1)V₁(N)B(N-1)u(N-1) + u^T(N-1)B^T(N-1)V₁(N)A(N-1)x(N-1) + u^T(N-1)[B^T(N-1)V₁(N)B(N-1) + V₂(N-1)]u(N-1)}.

Второе слагаемое в скобке равно транспонированному третьему, а т.к. они скаляры, то они равны, и (для краткости без аргумента) можно записать

Q₁={x^TA^TV₁Ax+ 2x^TA^TV₁Bu+u^T[B^TV₁B+V₂]u}. (4.23)

4.2.2.2. Определение вектора оптимального управления

Чтобы найти оптимальное управление, обеспечивающее минимум значению критерия (4.23), необходимо определить и приравнять нулю градиент Q₁по управлению:

= 2x^TA^TV₁B+ 2u^T[B^TV₁B+V₂] = 0.

Решая это линейное уравнение относительно неизвестного управления, получим

u(N-1)=-{B^T(N-1)V₁ (N)B(N-1) + V₂(N-1)}^-1B^T(N-1)V₁(N)A(N-1)x(N-1). (4.24)

Это линейный оптимальный закон управления, его физическая реализуемость обеспечивается соответствующим выбором матрицы V₂.

Выражение, стоящее в правой части (4.24) перед x(N-1) представляет собой матрицу обратной связи – регулятор. Эта матрица позволяет по отклонениям состояний вычислить управления.

Обозначив матрицу обратной связи, определяющую регулятор, S(N-1)

S(N-1)=-{B^T(N-1)V₁(N)B(N-1) + V₂(N-1)}^-1B^T(N-1)V₁(N)A(N-1), (4.25)

закон управления можно записать в виде

u(N-1) =S(N-1)x(N-1). (4.26)

Матрица S(N-1) называется матрицей обратной связи системы управления по отклонению.

В модели (4.19) отсутствуют возмущающие воздействия. Более полная модель системы имеет вид:

x(i + 1) = A(i) x(i) + B(i) u(i) + D(i)w(i). (4.19’)

Нетрудно видеть, что в правой части уравнения модели возмущения входят так же, как и состояния. Поэтому при подстановке в критерий (4.22) этой, включающей и возмущающие воздействия, модели после выполнения показанных выше преобразований будет получено выражение критерия (4.23), в которое добавится слагаемое вида 2w^TA^TV₁Bu.

В результате закон управления (4.26) будет получен в виде:

u(N-1) = S_x(N-1) x(N-1) + S_w(N-1) w(N-1) , (4.26’)

где S_x(N-1) – матрица обратной связи по отклонению (4.25), аS_w(N-1) – матрица обратной связи по возмущению, получаемая в результате замены в (4.25) матрицыA(N-1) на матрицуD(N-1).

Схема управления с линейным оптимальным регулятором по отклонению показана на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Структурная схема объекта с регулятором по отклонению

Второй контур по возмущению выглядит аналогичным образом. Роль регулятора в нем будет играть матрица S_w(N-1), на вход этого регулятора должно подаваться измеренное или прогнозируемое значениеw(N-1).