4.1.2. Решение разностных уравнений

4.1.2.1. Переходная матрица

Системы, описываемые разностными уравнениями, имеют характеристики, подобные характеристикам, рассмотренным в разделе 3 для непрерывных систем. Для их получения и анализа привлекаются соответствующие математические методы. Например, для получения передаточных функций применяется дискретное или Z – преобразование Лапласа. Эти вопросы могут быть изучены по литературе, список которой приложен к лекциям. Здесь вкратце рассматриваются переходные характеристики, которые для дискретных систем имеют достаточно простой вид и вычисление которых ориентировано на ЦВМ.

В качестве первой характеристики рассмотрим переходную матрицу.

Теорема 1.Рассмотрим разностное уравнение состояния

x(i+1) =A(i)x(i) +B(i)u(i). (4.10)

Решение его может быть представлено в виде

x(i) =Ф(i,i₀)x(i₀) + Ф(i,j+1)B(j)u(j),i i₀+ 1, (4.11)

где Ф(i,i₀),ii₀ естьпереходная матрица, определяемая так:

. (4.12)

Переходная матрица Ф(i,i₀) является решением матричного уравнения

. (4.13)

Если система стационарная А(i) =A i, то переходная матрица представляет соответствующую степень матрицыA:

Ф(i,i₀) =A^{i - i}₀(4.14)

Формулы (4.11) и (4.12) могут быть получены непосредственно по модели (4.10), если в ней выражать х(i) черезx(i-1),x(i-1) - черезx(i-2) и так далее доx(i₀).

4.1.2.2. Матричная импульсная переходная функция

Выходная переменная описывается уравнением (4.9), пусть x(i₀) = 0. Подставив (4.11) в (4.9), получим следующую зависимость для выходной переменнойy(i):

y(i) = K(i,j) u(j), i  i₀ , (4.15)

где

. (4.16)

Выражение (4.16) представляет собой матричную импульсную переходную функцию системы. ЕслиАпостоянная матрица, тоК(i,j) =К(i-j).

Если система имеет прямую связь, т.е. управляющая величина воздействует непосредственно на выходную переменную, и выходная переменная описывается следующим образом:

y(i) = C(i)x(i) + D(i)u(i) (4.17),

то вместо нуля в матричной импульсной переходной функции (4.16) появится матрица D(i):

(4.18)

4.1.2.3. Устойчивость

Ограничиваясь системами с постоянными параметрами, нетрудно видеть, что переходная матрица выражается через степени матрицы А. МатрицуАможно привести к диагональному виду, когда на главной диагонали будут стоять корни характеристического уравнения_i, а все остальные элементы будут равны нулю.

Степени матрицы Авыразятся через соответствующие степени её собственных чисел (корни). Таким образом, решение можно представить в виде композиции расходящихся при |_i|1, установившихся при |_i| = 1 и сходящихся при |_i|1 движений по собственным векторам.

На дискретные системы можно перенести всё сказанное для непрерывных систем, заменив условие отрицательности действительных частей корней в случае непрерывных систем, условием |_i|1 для дискретных систем.

Например, линейная дискретная система с постоянными параметрами

x(i+1) =Ax(i) асимптотически устойчива в том и только в том случае, если все характеристические числа матрицыАпо модулю строго меньше единицы.