![](/user_photo/1597_D_wn5.jpg)
- •Теория графов
- •Деревья
- •Определения
- •Основные свойства деревьев
- •Ориентированные деревья
- •Деревья покрытия. Остовы
- •Раскраска графов
- •Алгоритм правильной раскраски
- •П ланарность
- •Плоские и планарные графы
- •Грани плоского графа. Формула Эйлера
- •Теорема Потрягина-Куратовского
- •Алгоритм укладки графа на плоскости
- •Алгоритм укладки графа на плоскости
-
Теорема Потрягина-Куратовского
Введем операцию подразбиения ребра
графа. Она состоит в следующем: из графа
удалятся ребро
и добавляются два новых ребра
и
,
где
новая вершина.
-
2 графа называются гомеоморфными, если оба они могут быть получены из одного и того же графа подразбиением его рёбер.
Если граф планарный, то любой гомеоморфный ему граф также является планарным.
Исторически первым критерием планарности графов является критерий, доказанный Потрягиным (1927) и Куратовским (1930) независимо друг от друга.
-
Потрягина-Куратовского: Граф планарен т.и.т.т., когда он не содержит подграфов, гомеоморфных К5 или К3,3.
К5
К3,3
Без доказательства.
-
Алгоритм укладки графа на плоскости
Рассмотренный выше критерий планарности таков, что если даже удалось установить планарность, то нет информации о том, как строить его укладку на плоскости (т.е., как его расположить на плоскости без пересечения рёбер).
В то же время, при решении практических задач недостаточно знать, что граф планарен, а необходимо построить его плоское изображение.
Всё это вызвало появление алгоритмов,
которые не только проверяют граф на
планарность, но и строят его плоскую
укладку, если это возможно. Рассмотрим
один из этих алгоритмов.
.
Введем ряд определений.
-
Пусть построена некоторая укладка подграфа
графа
. Сегментом
относительно
(или просто сегментом) будем называть подграф графа
одного из двух видов:
-
Ребро
такое, что
,
;
-
Компоненту связности графа
, дополненную всеми рёбрами графа
, инцидентными ее вершинам (взятой компоненты), и концами этих рёбер.
-
Вершину
сегмента
относительно
будем называть контактной, если
.
-
Т.к.
плоский, то он разбивает плоскость на грани. Допустимой гранью для сегмента
относительно
называется грань
графа
, содержащая все контактные вершины сегмента
.
Через
будем обозначать множество допустимых
граней для
.
Может оказаться, что
.
-
Простую цепь
сегмента
, соединяющие две различные контактные вершины и не содержащих других контактных вершин, назовём
.
Алгоритм укладки графа на плоскости
-
Выберем некоторый простой цикл
графа
и уложим его на плоскости. Положим
.
-
Найдем грани
и сегменты относительно
. Если множество сегментов пусто, то перейти к п.7.
-
Для каждого сегмента
определим множество
.
-
Если
сегмент
, для которого
-
Если
сегмент
, для которого имеется единственная грань
, то перейдём к п.6. Иначе к п.5
-
Для некоторого сегмента
выбираем произвольно допустимую грань
.
-
Поместим произвольную
в грань
; заменим
на
и перейдем к п.1
-
П
остроена укладка
графа
на плоскости. Конец.
Уложим сначала цикл
,
который разбивает плоскость на две
грани
и
.
Найдем его сегменты.
- контактные вершины.
-допустимые грани
EMBED
Equation.3