![](/user_photo/1597_D_wn5.jpg)
- •Теория графов
- •Деревья
- •Определения
- •Основные свойства деревьев
- •Ориентированные деревья
- •Деревья покрытия. Остовы
- •Раскраска графов
- •Алгоритм правильной раскраски
- •П ланарность
- •Плоские и планарные графы
- •Грани плоского графа. Формула Эйлера
- •Теорема Потрягина-Куратовского
- •Алгоритм укладки графа на плоскости
- •Алгоритм укладки графа на плоскости
-
П ланарность
-
Плоские и планарные графы
-
Во многих случаях не имеет значение, как изображать граф . Однако встречаются ситуации ,когда важно выяснить ,возможно ли нарисовать граф на плоскости так ,чтобы его изображение удовлетворяло определённым требованиям . Например , в радиоэлектронике при изготовлении микросхем электрические цепи наносятся на плоскую поверхность изоляционного материала. А т.к. проводники не изолированы, то они не должны пересекаться .Аналогичная задача возникает при проектировании ж/д. и др. путей , где нежелательны переезды.
-
Граф называется плоским ,если его вершины – это точки лежащие на плоскости ,а рёбра – линии на плоскости , которые не пересекаются друг с другом.
Граф называется планарным, если он изоморфен плоскому графу.
-
Плоские графы:
-
Граф
:
является планарным т.к. его можно представить в виде плоского т.о.:
-
Граф:
Следующая классическая головоломка
наводит на мысль, что
не только планарные графы.
Задача о 3-х домах и 3-х колодцах.
Имеются 3 дома 1,2,3 и 3 колодца 4,5,6 (граф
):
Каждый хозяин пользуется любым из 3-х колодцев. В некоторый момент обитатели домов решили проложить дорожки до колодцев так , чтобы дорожки не пересекались .Возникает вопрос : возможно ли это .Все попытки нарисовать 9 непересекающихся дорожек оканчиваются неудачей. При этом легко нарисовать 8 дорожек (непересекающихся), но 9 обязательно пересечет хотя бы 1 из них. Т.е. граф К3,3 не является планарным.
-
Грани плоского графа. Формула Эйлера
-
-связный плоский граф .Область, ограниченная ребрами в графе
и не содержащая внутри себя вершин и ребер, называется гранью. Внешняя часть плоскости также образует грань.
Таким образом, плоский граф разделяет плоскость на грани.
-
Границей грани будем считать множество вершин и рёбер, принадлежащей этой грани.
-
Граф с 4-мя гранями. Плоский граф имеет единственную неограниченную грань (4). Такая грань называется внешней, а остальные грани - внутренними.
-
Эйлера. Для всякого связного плоского графа
верно равенство:
-
-число граней плоского графа.
-
Проведем по индукции по числу рёбер. Если
, то
, т.е. теорема выполняется.
Предположим, что теорема выполняется
для всех графов с числом рёбер <=
,
т.е.
.
Добавим еще одно ребро. Если добавляемое
ребро соединяет существующие вершины,
то
,
,
.
Тогда
.
Если добавляемое ребро соединяет
существующую вершину с новой, то
,
,
.
Тогда
.
-
Если
связный планарный граф (
), то
.
-
Пусть
-граф. Преобразуем
следующим образом. Ребра, находящиеся на границе граней продублируем. Тогда в полученном графе
. Кроме того, каждое ребро принадлежит ровно одной грани, а каждая грань ограничена 3 и более ребрами. Тогда
. Т.е. в исходном графе
. По предыдущей теореме имеем:
.
-
и
непланарны.
-
1. Рассмотрим
. Имеем
,
. Если
планарен, то
. Получили противоречие.
2. Рассмотрим
.
Имеем
,
.
В этом графе нет треугольников, значит,
если этот граф планарен, то в его плоской
укладке каждая грань ограничена по
крайней мере четырьмя ребрами.
Следовательно,
или
.
По формуле Эйлера
,
отсюда
.
Имеем
.
Получили противоречие.