3. Теорема Потрягина-Куратовского

Введем операцию подразбиения ребра графа. Она состоит в следующем: из графа удалятся ребро и добавляются два новых ребра и , где новая вершина.

17. 2 графа называются гомеоморфными, если оба они могут быть получены из одного и того же графа подразбиением его рёбер.

7. 

Если граф планарный, то любой гомеоморфный ему граф также является планарным.

Исторически первым критерием планарности графов является критерий, доказанный Потрягиным (1927) и Куратовским (1930) независимо друг от друга.

6. Потрягина-Куратовского: Граф планарен т.и.т.т., когда он не содержит подграфов, гомеоморфных К₅ или К_3,3.

К₅ К_3,3

Без доказательства.

8. 

4. Алгоритм укладки графа на плоскости

Рассмотренный выше критерий планарности таков, что если даже удалось установить планарность, то нет информации о том, как строить его укладку на плоскости (т.е., как его расположить на плоскости без пересечения рёбер).

В то же время, при решении практических задач недостаточно знать, что граф планарен, а необходимо построить его плоское изображение.

Всё это вызвало появление алгоритмов, которые не только проверяют граф на планарность, но и строят его плоскую укладку, если это возможно. Рассмотрим один из этих алгоритмов. .

Введем ряд определений.

18. Пусть построена некоторая укладка подграфа графа . Сегментом относительно (или просто сегментом) будем называть подграф графа одного из двух видов:

• Ребро такое, что , ;

• Компоненту связности графа , дополненную всеми рёбрами графа , инцидентными ее вершинам (взятой компоненты), и концами этих рёбер.

19. Вершину сегмента относительно будем называть контактной, если .

9. 

20. Т.к. плоский, то он разбивает плоскость на грани. Допустимой гранью для сегмента относительно называется грань графа , содержащая все контактные вершины сегмента .

Через будем обозначать множество допустимых граней для . Может оказаться, что .

10. 

21. Простую цепь сегмента , соединяющие две различные контактные вершины и не содержащих других контактных вершин, назовём .

Алгоритм укладки графа на плоскости

0. Выберем некоторый простой цикл графа и уложим его на плоскости. Положим .

1. Найдем грани и сегменты относительно . Если множество сегментов пусто, то перейти к п.7.

2. Для каждого сегмента определим множество .

3. Если сегмент , для которого

4. Если сегмент , для которого имеется единственная грань , то перейдём к п.6. Иначе к п.5

5. Для некоторого сегмента выбираем произвольно допустимую грань .

6. Поместим произвольную в грань ; заменим на и перейдем к п.1

7. П остроена укладка графа на плоскости. Конец.

Уложим сначала цикл , который разбивает плоскость на две грани и .

Найдем его сегменты.

- контактные вершины.

-допустимые грани

EMBED Equation.3