- •1. Принцип управления. Классификация систем управления.
- •Принцип разомкнутого управления
- •Принцип регулирования по отклонению
- •2. Алгоритмы и законы регулирования
- •3. Математическое описание сау. Модели вход-выход.
- •4. Математическое описание сау. Модели вход-состояние-выход.
- •5. Математическое описание звеньев и сау. Типовые звенья.
- •6. Типовые воздействия в системе и реакция на них.
- •7. Устойчивость систем управления. Первый метод Ляпунова.
- •8. Устойчивость систем управления. Частотный критерий устойчивости.
- •9. Устойчивость систем управления. Алгебраические критерии устойчивости.
- •10. Качество установившихся процессов в линейных сау. Коэффициенты ошибок.
- •Коэффициенты ошибок
- •11. Качество установившихся процессов в линейных сау. Частотные критерии качества.
- •12. Качество установившихся процессов в линейных сау. Корневые критерии качества.
- •13. Качество установившихся процессов в линейных сау. Интегральные критерии качества.
- •14. Коррекция сау. Способы коррекции.
- •15. Коррекция сау в функции внешних воздействий. Инвариантность.
- •Коррекция по возмущающему воздействию
- •16. Задачи и методы синтеза линейных сау.
- •17. Многомерные сау.
- •18. Чувствительность систем управления.
- •Существуют методы анализа чувствительности и методы достижения малой чувствительности в проектируемых системах.
- •Определить чувствительность для системы:
- •Управляемость.
- •20. Наблюдаемость систем управления.
- •21. Дискретные системы управления. Классификация.
- •22. Импульсные системы управления.
- •23. Нелинейные системы управления. Второй метод Ляпунова.
- •24. Автоколебания нелинейных сау. Определение параметров автоколебаний.
- •Определение параметров автоколебаний
- •25. Методы линеаризации нелинейных сау.
- •26. Случайные процессы
- •27. Оптимальное управление. Постановка задачи оптимального управления. Критерии оптимальности.
- •28. Аналитическое конструирование регуляторов. Постановка задачи.
- •29. Методы теории оптимального управления
- •30. Адаптивные системы управления. Классификация адаптивных сау.
7. Устойчивость систем управления. Первый метод Ляпунова.
Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Это свойство затухания переходного процесса с течением времени.
Для тех объектов, которые работают в условиях непрерывно меняющихся воздействий, т.е. когда установившийся режим вообще отсутствует, дается общее определение устойчивости:
Система устойчива, если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.
Yсв →0 при t→∞ , если все корни характеристического уравнения λ обладают отрицательной вещественной частью.
Если хотя бы один вещественный корень λi будет положительным или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней будет иметь положительную вещественную часть, то в этом случае процесс будет расходящийся.
Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λi,i+1 = +jβ , то система будет находиться на границе устойчивости.
Метод Ляпунова. Он дал первое определение устойчивости:
В качестве возмущения Ляпунов рассматривал любое отклонение от установившегося режима, т.е. он рассматривал устойчивость как св-во свободного движения.
Пусть y*(t) – обозначает некоторый установив-ся режим, а действительное текущее знач. y – y(t). y(t) – соответствует возмущенному движению.
Отклонение возм-го движ-ия от невозм-го обозн-м через xi(t)
xi(t)= yi(t)- yi*(t)
(*)- диж ур-ие в форме Коши в отклонениях.
Невоз-ое движение х*=0, xi можно принять за координаты состояния системы.
Если мы смогли бы найти все решения этого ур-ия, то мы могли бы найти все возм-ие возействия.
В общем случае конкретное выражение зависит от y*, т.е. при рассмотрении устойчивости необходимо указать об уст-ти какого режима идет речь.
Геометрическая трактование уст-ти Ляпунова.
Невозмущенное движение х*=0 называется устойчивым если задав трубку сколь угодно малого n-мерного сечения Е можно подобрать в нач-ный мом. вр. t0 такую обл-ть нач-х условий завис-ая от Е, что в дальнейшем увеличение t возмущ-ое движ-ие x(t) не выйдет из заданной трубки Е.
Аналитический критерий уст-ти Ляпунова.
Невоз-ое дв-ие х*=0 наз-ся уст-вым, если при заданном Е>0 сколь угодно мало оно не было сущ-ет такое >0 зав-ее от Е, что при нач-х услов-ях если xi(t0)<, то при дальнейшем движении |xi(t)|<Е.
Если данное условие не выполняется хотя бы для одного xi, то сис-ма неустойчива. Если при выполнении данных условий xi ->0 при t->то невозм-ое движение – асимптотически устойчивое. Если x(t)->0 при любых нач-х отклонениях, то сис-ма наз-ся уст-ой в целом.
Ляпунов рассматривал в общем случае не линейную сис-му, а ее линеаризованный вариант. Он предположил теорему уст-ти, кот-ая позволяет судить об уст-ти нелин-ой сис-мы по ее линеаризованному варианту. Если ур-ие (*) разложить в ряд Тейлора:
-Линейное ур-ие 1-го приближения для него можно составить хар-ое ур-ие.
Для нелинейных сис-м к которым применимо разложение (**) сущ-ет 3 теоремы Ляпунова об исследовании уст-ти по 1-му приближению.
Т.1. Невозм-ое движ-ие х*=0 устойчиво не зависимо от вида малых нелинейностей I, если все корни хар-го ур-ия D() имеют ориц-ые вещественные корни.
Т.2. Невозм-ое движ-ие х*=0 не устойчиво не зависимо от вида малых нелинейностей I, если хотя бы один корень хар-го ур-ия D() имеет полож-ую вещест-ую часть.
Т.3. В случае наличия в каких-либо корнях хар-го ур-ия нулевой вещ-ой части при всех остальных отрицательных ничего нельзя сказать об уст-ти невозм-го движения х*=0 по 1-му приближению, т.е. без спец-ого исследования ур-ия (**).
По Т.3. сис-ма нах-ся на границе устойчивости.