9. Устойчивость систем управления. Алгебраические критерии устойчивости.

Устойчивость – свойство системы возвращаться в исходный или близкий к нему установившийся режим после всякого выхода из него в результате какого-либо воздействия. Это свойство затухания переходного процесса с течением времени.

Для тех объектов, которые работают в условиях непрерывно меняющихся воздействий, т.е. когда установившийся режим вообще отсутствует, дается общее определение устойчивости:

Система устойчива, если её выходная величина остаётся ограниченной в условиях действия на систему ограниченных по величине возмущений.

Y_св →0 при t→∞ , если все корни характеристического уравнения λ обладают отрицательной вещественной частью.

Если хотя бы один вещественный корень λ_i будет положительным или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней будет иметь положительную вещественную часть, то в этом случае процесс будет расходящийся.

Если в характеристическом уравнении системы имеется хотя бы один нулевой корень или хотя бы одна пара чисто мнимых корней λ_i,i+1 = +jβ , то система будет находиться на границе устойчивости.

Алгебраические критерии. Вычисление корней уравнений высоких степеней затруднительно, поэтому в ТАУ были разработаны косвенные методы, позволяющие судить об устойчивости системы, не находя корней характеристического уравнения. Эти косвенные методы получили название алгебраических критериев. Из алгебраических критериев в ТАУ получили распространение 2 критерия: критерий Раусса, критерий Гурвица.

Возьмем характеристический полином – левая часть урав-ия: D(λ) = a₀*λⁿ + a₁*λ^{n -1} +…+ a_{n -1}*λ + a_n

Критерий Раусса-Гурвица позволяет определять устойчивость системы по коэффициентам хар. урав-ия.

Необходимым условием устойчивости явл. положительность всех коэф. хар. ур-ия.

a₀>0, a₁>0 … a_n>0.

Положительности коэффициентов характ. уравнения в общем случае недостаточно для устойчивости системы. Только в частных случаях, когда уравнение 1-ой или 2-ой степени, положительность коэф-тов явл. необходимым и достаточным условием устойчивости.

Чтобы сформулировать критерий Гурвица необходимо составить определитель вида:

- определитель Гурвица

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы были положительными n-главных определителей Гурвица (диагональные миноры). Δ_n = a_n*Δ_n-1 (a_n >0, Δ_n-1 >0)

Δ₁=a₁

Критерий Раусса-Гурвица применяется для систем не выше 4-го порядка. Критерий применяется для анализа систем, у которых известны все коэффициенты характеристического уравнения.