17. Изменение матрицы квадратичной формы при замене базиса.

, где х – вектор-столбец.

Х=РY

|P|≠0,B=P^TAP

 =Y^TBT

20. Выпуклость пересечения выпуклых множествЛемма: Пересечение нескольких выпуклых множеств есть выпуклое множество.

Доказательство. Пусть М =LÇN, гдеL,Nвыпуклы.

Пусть АÎMиBÎМ =>AÎLиBÎL.

Lвыпуклое => [А,В]ÌL.

Пусть АÎMиBÎМ =>AÎNиBÎN.

Nвыпуклое => [А,В]ÌN.

=> [А,В] ÌМ => М - выпуклое.

14(411)Матрица перехода от базиса к базису. Преобразование координат вектора при переходе к новому базису.

n – мерное пространство.

V_n – базис, состоящий из n векторов.

В пространстве есть базисы

Введем матрицу перехода от к.

19(416) Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения.

Эллипсом называется

геометрическое место всех

точек плоскости, сумма

расстояний от которых до

до фокусов есть величина

постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса.

Т.к. MF₁ + MF₂ = 2a

Т.к.

То получаем

Или

20(417)Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная.

Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF₁ – MF₂|=2a или MF₁ – MF₂=±2a,

Кривые 2 порядка

Уравнение эллипса ( рис.1 ) :

Здесь начало координат является центром симметрии эллипса, а оси координат – его осями симметрии. При a > b фокусы эллипса лежат на оси ОХ ( рис.1 ) , при a < b фокусы эллипса лежат на оси ОY , а при a = b эллипс становится окружностью ( фокусы эллипса в этом случае совпадают с центром окружности ). Таким образом, окружность есть частный случай эллипса.

Отрезок F1F2 = 2 с , где , называется фокусным расстоянием. Отрезок AB = 2 a называется большой осью эллипса, а отрезок CD = 2 b – малой осью эллипса. Число e = c / a , e < 1 называется эксцентриситетом эллипса.

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами.

Простейшее уравнение гиперболы

Здесь a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы.

Если 2c - расстояние между фокусами гиперболы, то между a, b и c существует соотношение

a2 + b2 = c2.

При b = a гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

x2 - y2 = a2.

Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси.

Парабола. Параболой называется геометрическое место точек, каждая из которых одинаково удалена от заданной фиксированной точки и от заданной фиксированной прямой. Точка, о которой идет речь в определении, называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.

Простейшее уравнение параболы

y2 = 2px. (*)

Входящая в это уравнение величина p называется параметром параболы. Параметр параболы равен расстоянию от директрисы параболы до ее фокуса.

Координаты фокуса F параболы(*) . (фокус параболы лежит на ее оси симметрии) Уравнение директрисы параболы (*)

Эксцентриситет параболы e = 1.

y2 = 2px (p > 0)

Две пересекающиеся прямые

Две параллельные прямые

Двукратная(одна) прямая

x2 = 0

Мнимые параллельные прямые

Мнимые пересекающиеся прямые

Мнимый эллипс