1. Механика

1.1 ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ В МЕХАНИКЕ

Физика как наука. Физические методы исследования. Современная физика. Предмет механики. Понятие о релятивистской и квантовой механиках. Абстракции в механике: материальная точка, система материальных точек, абсолютно твёрдое тело. Системы отсчёта и способы описания движения. Скорость и ускорение. Нормальная и тангенциальная составляющие ускорения. Кинематические законы движения точки (тела).

Понятие абсолютно твёрдого тела. Степени свободы абсолютно твёрдого тела. Поступательное и вращательное движения твёрдого тела. Угловая скорость и угловое ускорение твёрдого тела. Связь линейных и угловых величин для вращающегося твёрдого тела.

Сила - мера взаимодействия. Постулаты классической механики (законы Ньютона). Принцип относительности Галилея. Границы применимости законов классической механики.

Импульс системы. Законы изменения и сохранения импульса. Центр масс системы.

Работа и кинетическая энергия. Консервативные и диссипативные силы. Потенциальная энергия. Законы сохранения и изменения механической энергии. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары.

Гравитационное поле. Напряжённость и потенциал поля.

Поле упругой силы. Силы сопротивления.

Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела. Понятие момента инерции тела. Расчет моментов инерции различных тел. Момент силы. Работа силы при вращательном движении твёрдого тела. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела.

Момент импульса системы. Законы изменения и сохранения момента импульса. Момент импульса при вращательном движении.

Преобразования Галилея. Закон сложения скоростей в классической механике. Механический принцип относительности. Постулаты специальной теории относительности (постулаты Эйнштейна). Понятие одновременности. Преобразования Лоренца. Относительность длин и промежутков времени. Релятивистский закон сложения скоростей. Релятивистский импульс и уравнение динамики в теории относительности. Энергия релятивистской частицы. Энергия покоя.

Кинематика гармонического колебания: смещение, фаза, циклическая частота. Скорость, ускорение, сила и энергия при гармоническом колебательном движении. Дифференциальное уравнение гармонического колебания. Математический и физический маятники. Сложение одинаково направленных гармонических колебаний. Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу. Затухающие и вынужденные колебания. Резонанс. Волны. Уравнение плоской волны. Фаза волны. Длина волны. Фазовая скорость волны.

1.2. Краткий конспект лекций по механике Физика изучает простейшие формы движения. Наиболее простая форма движения – механическая, изучаемая механикой.

Простейшим объектом в механике является материальная точка. Это тело, размерами которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Ещё один, сравнительно простой объект – абсолютно твёрдое тело. Это тело, деформацией которого можно пренебречь в условиях данной задачи. Абсолютно твёрдое тело можно представлять как совокупность материальных точек, в которой расстояние между любыми двумя материальными точками неизменно.

К и н е м а т и к а м а т е р и а л ь н о й т о ч к и

Положение материальной точки можно задать радиус-вектором r, начало которого совпадает с началом отсчёта, а конец совпадает с материальной точкой. Вектор скорости и вектор ускорения тогда запишутся:

(1) (2)

На практике радиус-вектор задаётся с помощью трёх взаимно перпендикулярных единичных векторов. Наиболее употребительны векторы i , j , k , направленные вдоль декартовых осей x, y, z. В этом случае

R = xi + yj + zk, (3)

тогда

(4)

(5)

Нередко используются направления касательной и нормали к траектории в интересующей нас точке. Оси вдоль этих направлений составляют локальную систему координат. Проекции вектора скорости на эти направления

, (6)

где S –– путь (координата, отсчитываемая по траектории).

Проекции ускорения на эти же направления

(7)

где R –– радиус кривизны траектории в данной точке.

К и н е м а т и к а д в и ж е н и я т в ё р д о г о т е л а

Простейшими движениями твёрдого тела являются поступательное движение и вращательное движение.

При поступательном движении любая линия, проведённая в твёрдом теле, остаётся параллельной самой себе. Описание поступательного движения сводится к описанию движения какой-либо материальной точки (частицы) твёрдого тела.

При вращательном движении траектории частиц тела –– окружности с центрами на прямой, являющейся осью вращения. Вращательное движение описывается с помощью угла поворота φ. Это угол между какой-либо прямой в твёрдом теле и некоторым заданным направлением (и прямая и заданное направление перпендикулярны оси вращения). Можно записать

– угловая скорость; – угловое ускорение

Для какой-либо частицы тела, находящейся на расстоянии ρ от оси вращения, величина скорости будет ; касательная и нормальная составляющие ускорения –

При более полном и строгом описании используются вектор угловой скорости и вектор углового ускорения

Величина вектора угловой скорости есть

а направлен вектор вдоль оси вращения так, что из конца вектора вращение кажется происходящим против часовой стрелки. С помощью вектора вектор скорости частицы запишется как

(8)

где – радиус-вектор частицы относительно некоторого начала координат, выбранного на оси вращения.

Следующее по сложности движение твёрдого тела (после поступательного и вращательного вокруг оси) – это плоское движение. При плоском движении траектории всех частиц тела параллельны одной плоскости. Примером плоского движения является качение длинного цилиндра (со скольжением или без скольжения). Произвольное перемещение любой частицы твёрдого тела dr можно представить как сумму где – перемещение некоторой выбранной точки A твёрдого тела, – радиус-вектор частицы относительно этой выбранной точки A, – вектор поворота отрезка , модуль этого вектора есть элементарный угол. В качестве точки A чаще всего выбирается центр масс тела. Определение центра масс будет дано несколько позже. Здесь только укажем, что для однородного симметричного тела центр масс совпадает с центром тела. Плоское движение можно представить как сумму движения центра масс и вращательного движения относительно центра масс (вокруг оси, перпендикулярной вектору скорости центра масс).

Д и н а м и к а: з а к о н ы Н ь ю т о н а

В классической механике динамика механической системы выражается законами Ньютона. Первый закон Ньютона говорит о существовании инерциальных систем отсчёта (ИСО) – систем отсчёта, в которых выполняется закон инерции. Формулировка закона инерции: Тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку внешнее воздействие не выведет его из этого состояния.

Второй закон Ньютона (основной рабочий закон) формулируется с помощью понятий массы и силы. Масса – мера инертности тела, пропорциональная количеству вещества, но не сводящаяся к этому. Сила –– мера воздействия на данное тело со стороны прочих тел, внешних по отношению к данному. Сила есть функция, в первую очередь положения материальной точки. Она может быть задана также как явная функция времени, скорости. Запись второго закона Ньютона:

(9)

Произведение массы точечного тела на его ускорение равно действующей на тело силе.

Второй вариант записи закона применяется в случае, когда сила постоянна, а поэтому постоянно и ускорение .

Третий закон Ньютона говорит о равноправном участии любых двух тел во взаимодействии между собой. Сила, действующая на тело 2 со стороны тела 1 и сила, действующая со стороны тела 1 на тело 2, эти силы равны по величине и противоположно направлены вдоль прямой, соединяющей эти тела:

F₁₂ = - F₂₁ . (10)

При решении задачи движения механической системы для каждой материальной точки записывается уравнение типа (9). Дополнительными соотношениями являются уравнения типа (10). Для проведения расчётов рассматриваются проекции векторов на некоторые взаимно перпендикулярные направления. При использовании декартовой системы координат это будут оси x, y, z . Тогда вместо векторного уравнения (9) записываются три скалярных уравнения:

Довольно часто векторы силы и ускорения проектируют на направление касательной к траектории и на направление нормали к траектории. Считается, что траектория движения заранее известна. Способ описания, когда векторы проектируются на направления касательной и нормали к траектории (локальные оси), называется естественным способом описания. Проекции скорости и ускорения на направления касательной и нормали даются формулами (6) и (7). Итак, при естественном способе

(11)