40

(45) , (46) . (47)

Как правило, силы сопротивления не очень значительные, и . Тогда – функция, медленно меняющаяся по сравнению с гармонической функцией . Уравнение (44) описывает почти гармонические колебания с амплитудой, медленно убывающей со временем по показательному закону . (48)

Легко измеряемой характеристикой затухания является величина

, (49)

где нижний индекс указывает номер колебания.

Как легко увидеть при подстановке (48) в (49),

. (50)

Коэффициент называется логарифмическим декрементом затухания колебаний. Определив из опыта , можно с помощью формулы (50) найти и далее с помощью формулы (46) найти коэффициент сопротивления r.

В ы н у ж д е н н ы е к о л е б а н и я

Одним из важных вопросов является вопрос о результате внешнего периодического воздействия на систему с упругими свойствами. Основные выводы можно получить, решая уравнение динамики, записанное с учётом периодической внешней силы

. (51)

Здесь F₀ и –– амплитуда и частота изменения внешней силы.

Запись последнего уравнения в канонической форме ––

. (51^l)

Это есть дифференциальное уравнение второго порядка, линейное, с постоянными коэффициентами, неоднородное. Как известно, общее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму x₀(t) общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо x₁(t) частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения описывает затухающие колебания. Если нас интересуют моменты времени , то для таких моментов функция x₀(t) стремится к нулю и остаётся только движение, описываемое частным решением (установившееся движение). В качестве этого частного решения разумно предположить функцию

. (52)

При проверке этого решения, то есть при подстановке функции (52) в уравнение (51^l) получится уравнение, содержащее (с некоторыми коэффициентами). Условия равенства левой и правой частей уравнения, которые легче всего получить с помощью векторной диаграммы, записываются так

, (53) . (54)

Система совершает гармонические колебания с частотой вынуждающей силы. Поэтому данное движение системы называют вынужденными колебаниями. Согласно формуле (53), при

. (55)

При частоте, близкой к частоте собственных колебаний, а именно при

амплитуда колебаний максимальна. Это есть случай резонанса колебаний смещения. Максимальное значение амплитуды при резонансе смещения

(56)

При частотах с ростом частоты амплитуда колебаний уменьшается по закону. То есть из-за инертности система почти не успевает «реагировать» на слишком частые колебания внешней силы.

Скорость частицы при вынужденных колебаниях также изменяется по гармоническому закону. Согласно (52) . Амплитуда скорости будет максимальна при . В этом отношении резонанс колебаний скорости отличается от резонанса колебаний координаты.

Одной из важных характеристик колебательной системы является добротность – отношение амплитуды колебаний при резонансе к амплитуде статического смещения. Добротность показывает способность «раскачки» системы. Согласно формулам (56) и (55) добротность будет .

В о л н ы . И н т е р ф е р е н ц и я в о л н . С т о я ч и е в о л н ы .

Если колебательная система находится в упругой среде, то будет происходить вовлечение всё новых частиц в колебательный процесс. Волны – это процесс распространения колебаний в упругой среде. Волны идут с постоянной, характерной для данной среды скоростью u. В зависимости от направления колебаний относительно направления распространения различают волны продольные, когда эти направления совпадают, и волны поперечные, когда направления взаимно перпендикулярны.

Рассмотрим простейшее кинематическое уравнение волны и характеристики волны. Пусть в начале координат O находится колеблещееся тело (источник волн). Очевидно, что частица среды, находящаяся на расстоянии x от источника, начнёт колебаться только спустя время x/u после начала колебаний источника. В момент времени t смещение «y» частицы среды будет таким, каким было смещение примыкающих к источнику частиц в более ранний момент времени t – x/u . Если смещение частиц возле источника подчиняется гармоническому закону , то смещение частицы с координатой x будет . (57)

Это есть кинематическое уравнение одномерной гармонической волны (или, как ещё говорят, плоской гармонической волны). Правую часть часто называют волновой функцией. Формулой (57) выражается простейшая волновая функция – волновая функция плоской гармонической волны. Величина есть фаза волны. Поверхность, в точках которой фаза волны одинакова, называется волновой поверхностью. В нашем случае волновая поверхность – плоскость, перпендикулярная оси x. Самая передняя волновая поверхность (фаза равна нулю) называется фронтом волны. Периодичность смещения на оси x характеризуется длиной волны , которую можно определить как расстояние, пройденное волной за период колебаний T, . Фазу волны можно переписать так:

(58)

Величину называют волновым числом. Скорость u обычно называют фазовой скоростью. Чтобы прибор фиксировал всё время одну и ту же фазу, он должен перемещаться со скоростью u. Считая величину постоянной и находя из условия постоянства скорость перемещения прибора как производную dx/dt , получим

. (59)

При волновом процессе происходит перенос энергии. В результате этого переноса в каждый следующий отрезок времени всё новые области среды приходят в колебательное движение, то есть получают энергию. Переносимая энергия пропорциональна квадрату амплитуды волны.

Интерференция волн

Представим себе, что в точках O₁ и O₂ ( рис. 7) находятся источники волн с характеристиками . В любую точку среды, например, в точку P приходят две волны. Смещение y частицы среды можно представить как

y = y₁ + y₂, (60)

где y₁ – смещение, обусловленное только волной 1 (если бы она была одна); y₂ – смещение, обусловленное только волной 2.

Рис. 7

Формула (60) выражает принцип суперпозиции в учении о поле и в учении о волнах. Принцип справедлив, если смещения малы (пренебрежимо малы по сравнению с длиной волны).

Если привлечь векторную диграмму колебаний, то результат сложения колебаний, приходящих в точку P, можно представить двумя формулами (33), в которых . Среднее значение равно нулю. Отсюда для среднего квадрата результирующего смещения получается

.

Это означает следующее. Энергия, переносимая волной в окрестности точки P, равна энергии, которая переносилась бы одной только первой волной (в отсутствие второй), и энергии, переносимой одной только второй волной (в отсутствие первой). Иначе говоря, вклад волн 1 и 2 в перенос энергии пропорционален их интенсивностям.

Иное дело будет в случае . Такие источники называются когерентными. В форомуле (33) величины линейно меняются со временем. На диаграмме векторы A₁, A₂ , A вращаются с одной угловой скоростью , не меняя взаиморасположения. Разность фаз не зависит от времени и равна k(r₁ – r₂). Величину A можно назвать теперь амплитудой смещения и записать для неё A² = A₁² + A₂² + 2A₁A₂cos[k(r₁ – r₂)].

В некоторых точках среды и амплитуда A максимальна: A_max = A₁ + A₂ . В некоторых других точках среды, и амплитуда A минимальна A_min = |A₁ – A₂ | . Получается устойчивая картина пере-распределения в пространстве переносимой энергии. Явление наложения волн от когерентных источников, приводящее к устойчивой картине перераспределения в пространстве переносимой энергии, называется интерференцией волн.

С

Рис. 8

тоячие волны. Представим, что звуковые волны от мембраны телефона распространяются в узком цилиндре длиной l, закрытом с противоположной стороны отражающей стенкой (Рис. 8). На расстоянии x от мембраны частицы среды (воздуха) приходят в колебательное движение под действием волны и волны, отражённой от стенки . Здесь – возможное изменение фазы при отражении. На векторной диаграмме (рис. 9) отрезок A является диагональю ромба со сторонами «a». угол есть полусумма углов . А это значит:

.

Поэтому,

. (61)

К

Рис. 9

аждый участок совершает колебания со своей амплитудой A(x). Скорость перемещения фазы равна нулю. Это есть стоячие волны. Уравнение (61) – уравнение стоячей волны. Точки, в которых A = 2a (max), – это точки пучности стоячей волны. Точки, в которых A = 0 , есть узлы стоячей волны. Расстояние между соседними пучностями или узлами равно половине длины волны. Расстояние между соседними пучностью и узлом равно четверти длины волны.

Необходимо помнить ещё об одном важном условии, без выполнения которого стоячие волны невозможны. В крайних точках x = 0 и x = l в силу особых физических условий должны быть либо узел, либо пучность. В нашем примере в точке x = 0 будет пучность, в точке x = l будет узел (рис. 8). В случае закреплённой с обоих концов струны (рис. 10а) на каждом из её концов должен быть узел стоячей волны. В случае закреплённого с одного конца стержня (рис. 10б) на свободном конце будет пучность стоячей волны, на закреплённом –– узел.

Т

Рис. 10

аким образом, при фиксированной частоте, задаваемой генератором колебаний, на длину l накладывается условие – она в общем случае должна содержать целое число четвертей длины волны, а именно:

в случае узел – узел ; (62^|)

или пучность – пучность

в случае узел – пучность . (62^||)

В этих формулах n – целое число.

Если зафиксирована длина l, то образование стоячих волн возможно не при всякой частоте генератора. Это будет лишь при частотах: (63)

Стоячие волны – это особым образом «организованные» колебания частиц среды: на отрезке между соседними узлами (в пол длины волны) участки колеблются в фазе; участки по разные стороны узла колеблются в противофазе. Интересно, что колебания могут продолжаться после прекращения работы источника (генератора), пока они не прекратятся вследствие затухания. Поэтому стоячие волны ещё можно назвать собственными колебаниями рассредоточенной системы. Частоты , удовлетворяющие условию (63), есть собственные частоты системы (резонатора) с фиксированным параметром l .

1.3 ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Д о п о л н и т е л ь н ы е у р а в н е н и я и ф о р м у л ы