Пример решения задачи (графическое условие равновесия)

Задача 2. Тело М₁ весом Р = 30 Н подвешено при помощи двух гибких нерастяжимых тросов ОМ₁ и М₁М₂ и удерживается в состоянии равновесия при помощи тела М₂ веса Q (рис. 1.14, а). При этом участок троса М₁А горизонтален, а трос ОМ₁ образует угол α = 30° с вертикальной стеной. Найти вес Q тела М₂ и натяжение троса ОМ₁, считая блок идеальным и пренебрегая размерами грузов.

Решение

1 . В задаче рассматривается равновесие материальной точки М₁, поскольку известна сила тяжести тела Р, приложенная к ней. Также к ней приложены еще две силы: Т₁ – сила натяжения троса ОМ₁ и Т₂ – сила натяжения участка троса М₁А. Поскольку число сил не превышает трех, можно использовать геометрическое условие равновесия.

Рис. 1.14. – К задаче 2

Используем принцип освобождения от связей, заменив их на соответствующие реакции (рис. 1.14, б), причем реакция Т₂ равна весу тела М₂

Поскольку тело М₁ находится в состоянии равновесия под действием трех сил, то силовой треугольник, образованный ними, должен быть замкнут. Построение треугольника начинаем с известной силы Р, направленной вертикально вниз. Далее через начало и конец вектора Р проводим прямые, параллельные силам натяжения Т₁ и Т₂. Точка их пересечения дает третью вершину силового треугольника (рис. 1.12, в), причем ориентация сил натяжения должна образовывать замкнутый треугольник. Это дает возможность проверить правильность принятых направлений неизвестных реакций.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике имеем

Задача решена.

Задание №1 к ргр

1 .1. Трамбовочный каток имеет вес G = 40 кН и радиус R = 50 см. Определить горизонтальное усилие Р, необходимое для подъема катка на каменную плиту высотой h = 10 см.

Ответ: P = 30 кН.

К задаче 1.1.

1 .2. Звенья кривошипно-шатунного механизма двигателя внутреннего сгорания имеют следующие размеры: длина шатуна АВ = 30 см, длина кривошипа ВС = 6 см, площадь поршня S = 200 см². В данный момент давление газа над поршнем Р₁ = 1,0 МПа, под поршнем – Р₂ = 0,2 МПа. Найти силу Т, действующую на кривошип ВС со стороны шатуна АВ при их перпендикулярном расположении. Трением между поршнем и стенками цилиндра пренебречь.

Ответ: Т = 16 кН.

К задаче 1.2.

1.3. Чтобы вытянуть автомобиль, застрявший на плохой дороге, водитель натянул канат АВ между автомобилем и деревом, привязав к дереву конец В на 2 м выше, чем конец А к машине. Затем водитель встал на канат у автомобиля, оттянув его вниз собственным весом G = 770 Н, после чего отправился по канату в направлении дерева. Определить силу, действующую на автомобиль (силу натяжения каната), когда водитель стоял на канате в точке С на расстоянии от дерева, если C₁D = 2 м, C₂D = 10 м.

Ответ: Т₁= 770 Н, Т₂ = 3 850 Н.

1 .4. На звенья А і В пружинного амортизатора, используемого для ослабления толчков, действуют противоположно направленные силы Р₁ = Р₂ = 800 Н. Определить жесткость пружины с (силу, необходимую для ее деформации на 1 м), при которой равновесие имеет место при α = 60°, если при α = 180° пружина находится в ненапряженном состоянии. Принять АС = АD = CB = BD = 0,4 м. Трением и весом звеньев пренебречь.

Ответ:

К задаче 1.4.

1.5. Поворотный кран находится в состоянии равновесия под действием силы тяжести груза Q = 15 кН. Определить реакции в опорах А и В, если размеры крана Н = 4 м, L = 3 м.

Ответ: R_А = 11,25 кН; R_B = 18,75 кН.

1.6. В точке В кронштейна подвешен груз весом G = 25 Н. Определить реакции стержней кронштейна, если его углы α = 100°, β = 35°, а крепления в точках А и С являются шарнирными.

Ответ: N_А = 21,7 Н; N_С = 30,1 Н.

1.7. Воздушный шар А с подъемной силой Q = 2 Н удерживается невесомой нитью ОА длиной l = 1 м и относится ветром на расстояние ОВ = 0,5 м. Определить силу ветра F, считая его постоянным и горизонтальным, а также силу натяжения троса Т. Размерами шарика и его весом пренебречь.

Ответ:

1 .8. Балка АВ длиной 2 м, имеющая шарнирно неподвижную опору А и шарнирно подвижную опору В, нагружена силой Р = 1,4 кН. Определить реакции в опорах балки, если сила Р приложена посредине под углом 45° к ее оси.

Ответ: R_А = 1,11 кН, R_В = 0,50 кН.

К задаче 1.8.

1 .9. Цилиндр радиуса R = 0,8 м и веса Р = 7 кН расположен между выступом А и горизонталь-ной стеной. Определить силу давления цилиндра на выступ А и стену, если расстояние от точки А до горизонтальной касательной плоскости СС₁ составляет h = 10 см.

Ответ: R_А = 8 кН, R_D = 3,87 кН.

К задаче 1.9.

1 .10. Невесомые стержни АВ и CD жестко соединены под прямым углом в точке D, причем AD = BD. К концу В стержня под углом α = 60° приложена сила Р = 300 Н. Определить реакции в шарнирно подвижной опоре С и шарнирно неподвижной опоре А.

Ответ: R_А = 300 Н, R_С = 520 Н.

К задаче 1.10.

1 .11. Определить угол наклона α полной реакции R_А в шарнирно неподвижной опоре А к оси горизонтальной балки АВ, нагруженной посередине силой F = 6 кН под углом 45° к горизонту.

Ответ: α = 26,6°

К задаче 1.11

1.12. Груз G = 20 кН поднимается лебедкой при помощи троса, переброшенного через неподвижны блок в точке В. Пренебрегая трением в блоке, определить натяжение Т стержня АВ и усилие S в стержне ВС.

О твет: Т = 54,6 кН, S = 74,6 кН.

К задаче 1.12.

1 .13. К резцу, закрепленному в суппорте металлорежущего станка, в точке D со стороны обрабатываемой детали приложена сила N = 300 Н, образующая угол α = 30° с вертикалью. Найти реакцию в шарнирной опоре А и силу упругости F пружины, удерживающей суппорт в точке В. Собственным весом суппорта пренебречь.

Ответ: R_A = 275 Н, F = 30 Н. К задаче 1.13.

1 .14. Однородный шар весом 12 Н удерживается в состоянии равновесия на наклонной плоскости при помощи нити АВ. Определить силу давления N шара на плоскость, если она образует с вертикалью угол α = 60°. Трением между шаром и плоскостью пренебречь.

Ответ: N = 10,4 Н.

К задаче 1.14.

1.15. Бочка А весом Р = 3 кН удерживается от сноса течением с помощью двух якорей В и С, находящихся на одинаковой глубине. Объем подводной части бочки V = 0,33 м³, удельный вес воды γ = 9,81 Н/м³. Якорные тросы образуют между собой угол β = 90° и лежат в плоскости, наклоненной к горизонту под углом α = 60°. Определить натяжения тросов и величину горизонтальной силы Q, обусловленной течением, если эта сила лежит в вертикальной плоскости, разделяющей угол β пополам.

Ответ: Т₁ = Т₂ = 0,19 кН, Q = 0,14 кН.

1.16. Шар А весом 5 кН и объемом 0,7 м³ удерживается в подводном положении тремя якорями B, C и D, расположенными на одной глубине и на одинаковом расстоянии друг от друга. Определить натяжение каждого троса, если они образуют с вертикалью углы 45°. Удельный вес воды принять равным γ = 10 кН/м³.

Ответ: Т₁ = Т₂ = Т₃ = 0,943 кН.

1.17. Груз Р равномерно поднимается лебедкой при помощи троса, перекинутого через неподвижный блок А, закрепленный на вершине кронштейна АВСD. Пренебрегая весом стержней, троса и блоков, а также трением в них, определить вес груза Р и усилие в стержне 1, если усилия в стержне 3 S₃ = 3 кН, а углы α = β = 30°, γ = 60° соответственно.

Ответ: Р = 1 кН, S₁ = - 2 кН.

1 .18. Невесомые стержни АС и ВС соединены в точке С и шарнирно прикреплены к полу, а к шарниру С подвешен груз 1. Определить реакцию стержня ВС, если усилие в стержне АС равно S_АС = 43 Н. Стержни образуют с горизонтальной плоскостью углы α = 60°, β = 30°.

Ответ: S_ВС = - 24,8 Н.

К задаче1.18.

1.19. Груз весом Р = 80 Н подвешен на трех одинаковых нитях, прикрепленных к вершинам равностороннего треугольника АВС, расположенного в горизонтальной плоскости. Нити образуют одинаковые углы α = 60°, определить натяжения Т_А, Т_В и Т_С нитей ОА, ОВ и ОС соответственно.

Ответ: Т_А = Т_В = Т_С = 53,3 Н.

1.20. Вагонетка весом G = 20 кН находится на наклонном участке подвесной дороги. Найти натяжение Т тягового каната и силу давления вагонетки N на канат АВ, натянутый без провисания. Найти полную силу давления R на опору В, а также ее горизонтальную и вертикальную составляющие, если канат АВ натянут с силой Р = 30 кН под углом α = 30° к горизонту.

Ответ: Т = 1 кН, N = 1,73 кН, Х_В = 4,18 кН, Y_В = - 15,5 кН, R = 16 кН.

1.21. Два электровозных контакты подвешены к поперечным канатам, каждый из которых прикреплен к двум столбам. Столбы расставлены вдоль дороги на расстоянии 40 м друг от друга. Для каждого поперечного каната АЕ = КВ = 3,3 м, ЕС = KD = 0,8 м. Пренебрегая весом проволочного каната, найти натяжения Т₁, Т₂ и Т₃ в его частях АС, CD и DB, если вес 1 м провода 8,9 Н.

Ответ: Т₁ = Т₂ = 1510 Н, Т₃ = 1470 Н.