Вопросы для самоконтроля

1. Дайте определение сферического движения твердого тела.

2. Сколько степеней свободы имеет тело при сферическом движении?

3. Каким образом задаются углы Эйлера при сферическом движении?

4. Запишите уравнения сферического движения твердого тела.

5. Что называется мгновенной осью вращения, какую роль она играет в описании сферического движения?

Задание № 12. «Сферическое движение твердого тела» Рекомендации к решению задач

А. Известны уравнения движения тела в виде углов Эйлера, необходимо определить угловые скорость и ускорение тела, линейные скорость и ускорение любой точки тела М..

1. Определить производные от углов Эйлера по времени.

2. Найти проекции угловой скорости на оси подвижной и неподвижной систем координат по формулам (12.4) - (12.5).

3. Определить величину мгновенной угловой скорости по формуле (12.3).

4. Определить положение мгновенной оси, найти мгновенное угловое ускорение.

5. Определить модуль и направление скорости точки М.

6. Определить вращающуюся и осестремительную составляющие ускорения точки М, через них найти модуль и направление полного ускорения точки М.

Б. Известны скорость произвольной точки тела М и положение мгновенной оси вращения, необходимо определить мгновенные угловые скорость и ускорение тела, линейные скорость и ускорение любых точек тела.

1. Выбрать подвижную и неподвижную системы координат, определить мгновенную угловую скорость твердого тела.

2. Определить искомые скорости точек твердого тела.

3. Найти мгновенное угловое ускорение твердого тела как скорость конца вектора мгновенной угловой скорости.

4. Определить вращающуюся и осестремительную составляющие ускорения точек твердого тела, через них найти абсолютные ускорения данных точек.

Пример решения задачи

Задача 1. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки согласно закону

Определить мгновенную угловую скорость тела, а также скорость точки тела М (2, 3, 5), координаты которой заданы в сантиметрах в подвижной системе координат, жестко связанной с телом.

Решение

Рассматриваем движение тела одновременно в двух системах координат с центрами в точке О: подвижной Оx₁y₁z₁, жестко связанной с телом, и неподвижной Оxyz. Найдем производные по времени от углов Эйлера

Мгновенная угловая скорость твердого тела

ω = 0,5k + 6k₁ (рад/с).

Находим проекции угловой скорости на оси координат неподвижной системы

Находим проекции угловой скорости на оси координат подвижной системы

Находим величину мгновенной угловой скорости

Проекции скорости точки М на оси подвижной системы координат

Абсолютную скорость точки М выражаем через ее проекции

Задача решена.

Задание № 12 к ргр

12.1. Ось ОА мельничного бегуна вращается равномерно вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω₁ = 2 рад/с. Длина оси ОА = 1,2 м, радиус бегуна r = 40 см. Пренебрегая скольжением бегуна, определить вектор его угловой скорости.

Ответ: ω = 8 рад/с.

1 2.2. Найти скорость и ускорение точки В конического катка, который равномерно катится без скольжения по горизонтальной конической кольцевой опоре. Диаметр катка ВС = 30 см, ОА = 20 см, скорость центра катка равна υ_А = 0,4 м/с, перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на наблюдателя.

Ответ: υ_В = 0,79 м/с, а_В = 2,57 м/с².

К задаче 12.1 К задаче 12.2

1 2.3. Коническая шестерня І радиуса r = 20 см находится в зацеплении с неподвижным колесом ІІ радиуса R = 40 см и приводится в движение кривошипом III, вращающимся по закону

Определить величину угловой скорости ω и углового ускорения ε в момент времени t = 1 с.

Ответ: ω = 6,71 рад/с, ε = 19,21 рад/с².

К задаче 12.3

12.4. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки согласно закону

Определить скорость точки тела М (0, 0, 32), координаты которой заданы в сантиметрах в неподвижной системе координат в данный момент времени.

Ответ: υ_М = 21,8 см/с.

12.5. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки согласно закону

Определить ускорение точки тела М (0, 0, 32), координаты которой заданы в сантиметрах в неподвижной системе координат в данный момент времени.

Ответ: а_М = 29,6 см/с².

12.6. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О, принятой за начало отсчета неподвижной системы координат Оxyz. Определить в данный момент времени скорость точки N (0,5; 1,7; 2) тела, если мгновенная ось проходит через точку M (2; 1,73; 3), образуя с осями координат острые углы, а мгновенная угловая скорость равна 8 рад/с.

Ответ: υ_N = 8 см/с.

1 2.7. Круговой конус высотой ОС = 20 см и углом при вершине АОВ = 60° равномерно катится без скольжения по плоскости хОу, причем точка О остается неподвижной, а конус осуществляет за 1 секунду 2 оборота вокруг оси Oz. Определить угловую скорость ω вращения конуса вокруг мгновенной оси.

Ответ: ω = 21,75 рад/с.

К задаче 12.7

12.8. Круговой конус высотой ОС = 20 см и углом при вершине АОВ = 60° равномерно катится без скольжения по плоскости хОу, причем точка О остается неподвижной, а конус осуществляет за 1 секунду 2 оборота вокруг оси Oz (рис. к задаче 12.7). Определить угловое ускорение ε конуса.

Ответ: ε = 273,2 рад/с².

1 2.9. Прямой круговой конус ОАВ с углом при вершине 2α = 60° катится без скольжения по неподвижному конусу ОАD так, что его вершина остается неподвижной, а скорость центра С основания равна υ_С = 6t см/с. Определить скорости и ускорения концов вертикального диаметра АВ в момент времени t = 2 c, если ОС = 6 см.

Ответ: υ_А = 0 м/с, а_А = 0,48 м/с², υ_В = 0,24 м/с, а_В = 0,84 м/с².

К задаче 12.9

12.10. Прямой круговой конус высотой ОС = 20 см и углом при вершине 2α = 60° равномерно катится без скольжения по горизонтальной плоскости так, что скорость центра С основания постоянна и равна υ = 0,3 м/с. Определить скорости и ускорения концов диаметра А і В.

Ответ: υ_А = 0 м/с, а_А = 1,2 м/с², υ_В = 0,6 м/с, а_В = 1,6 м/с².

12.11. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки по закону

Определить скорость и ускорение точки тела М, координаты которой в момент времени t = π/2 с равны соответственно х = 4 см, y = 5 см, z = 6 см.

Ответ: υ_М = 0,07 м/с, а_М = 0,18 м/с².

12.12. При сферическом движении твердого тела вектор его мгновенной угловой скорости имеет вид

Определить в момент времени t = 1 с скорость точки М с координатами x = 0 м, y = 1 м, z = 1 м.

Ответ: υ_М = 3 м/с.

1 2.13. Конус с углом при вершине α = 90° и высотой ОС = 10 см катится по горизонтальной плоскости, вращаясь вокруг точки О, причем скорость центра основания υ_С = 0,1 м/с. Определить модуль осестремительного ускорения точки А.

Ответ: а_ос = 0 м/с².

К задаче 12.13

12.14. Проекции угловой скорости твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки О на оси неподвижной координатной системы Оxyz выражаются формулами

где угловая скорость выражена в радианах в секунду, а время в секундах. Определить в момент времени t = 1 с скорость и ускорение точки тела М (1, 0, 0), координаты которой заданы в сантиметрах.

Ответ: υ_М = 1,41 см/с, а_М = 6,71 см/с².

1 2.15. Вал I вращается равноускоренно с угловым ускорением ε₀ = 0,5 рад/с², приводя в движение шестерню ІІ радиуса r = 4 см, находящуюся в зацеплении с неподвижной шестерней ІІІ. Определить в момент времени t = 1 с ускорения точек В и С подвижной шестерни, если углы при вершинах начальных конусов подвижной и неподвижной шестерен равны α = 60° и β = 120° соответственно. Угловая скорость вала I в начальный момент времени ω₀ = 1 рад/с.

Ответ: а_В = 0,54 м/с², а_С = 0,31 м/с².

К задаче 12.15

12.16. При сферическом движении твердого тела вектор его мгновенной угловой скорости имеет вид

Определить модуль мгновенного углового ускорения ε твердого тела в момент времени t = 1 с.

Ответ: ε = 2,63 рад/с².

12.17. Угловая скорость вращения тела, осуществляющего сферическое движение, равна 14 рад/с, а мгновенная ось в данный момент времени составляет с координатными осями неподвижной системы углы α = 65°, β = 31°, γ = 73°. Для точки М (10, 0, 20), координаты которой заданы в сантиметрах, найти модуль скорости υ и проекции скорости υ_х, υ_y и υ_z на координатные оси.

Ответ: υ = 2,8 м/с, υ_х = 2,4 м/с, υ_y = 0,8 м/с, υ_z = 1,2 м/с.

1 2.18. Конус 1 катится по неподвижному конусу 2 с постоянной угловой скоростью ω = 3,1 рад/с. Перпендикуляр CN, опущенный из центра С основания конуса 1, вращается вокруг оси Oz с угловой скоростью ω = 1,8 рад/с. Определить угловое ускорение конуса 1, если угол α = 30°.

Ответ: ε = 2,83 рад/с².

К задаче 12.18

1 2.19. Коническая шестерня І радиуса r = 25 см, находящаяся в зацеплении с неподвижным колесом ІІ радиуса R = 50 см, приводится в движение валом III. Вращаясь равноускоренно с угловым ускорением ε₀ = 1,57 рад/с², шестерня имеет в начальный момент времени угловую скорость ω₀ = 1,57 рад/с. Определить величину угловой скорости ω и углового ускорения ε тела, а также линейную скорость точки В подвижной шестерни в момент времени t = 1 с.

Ответ: ω = 10,5 рад/с, ε = 44,5 рад/с², υ_В = 4,71 м/с.

К задаче 12.19

12.20. Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки О согласно закону

Определить ускорение точки тела М, в данный момент времени лежащей на мгновенной оси вращения на расстоянии ОМ = 3,5 см от неподвижной точки О.

Ответ: а_М = 0,15 м/с².

1 2.21. Конус с углом при вершине 2α = 60° и радиусом основания r = 20 см катится по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения, причем скорость центра основания С постоянна и равна υ_С = 0,6 м/с. Определить угловую скорость ω и угловое ускорение ε конуса.

Ответ: ω = 3,46 рад/с, ε = 6,93 рад/с².

К задаче 12.21

12.22. Конус с углом при вершине 2α = 60° и радиусом основания r = 20 см катится по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения (рис. к задаче 12.21), причем скорость центра основания С постоянна и равна υ_С = 0,6 м/с. Определить скорости и ускорения верхней и нижней точек А и В основания конуса.

Ответ: υ_А = 0 м/с, а_А = 2,77 м/с², υ_В = 1,2 м/с, а_В = 3,66 м/с².