Пример решения задачи (теоремы о скоростях и ускорениях)

З адача 2. Найти скорость ползуна В нецентрального кривошипного механизма, в момент когда ползун, вращающийся с угловой скоростью ω = 1,5 рад/с вокруг горизонтальной оси О, образует угол α = 30° с горизонтом (рис. 10.8). Размеры звеньев ОА = 40 см, АВ = 200 см, ОС = 20 см.

Рис. 10.8. Нецентральный кривошипный механизм

Решение

Решение задачи осуществляем согласно пункту Б рекомендаций. Изображаем на рисунке весь механизм и точку В на нем в заданном положении (рис. 10.9). Точка В принадлежит шатуну, который осуществляет плоскопараллельное движение. За полюс выберем точку А, которая одновременно принадлежит и шатуну и кривошипу. Найдем скорость точки А при вращательном движении

В ектор υ_А приложим в точке В перпендикулярно положению кривошипа ОА в данный момент времени.

Определим положение мгновенного центра скоростей. Для этого необходимо знать направления скоростей двух точек шатуна. Направление скорости υ_А нам известно, а скорость точки В направлена по горизонтали в направлении движения кривошипа. Чтобы определить положение точки Р, проведем перпендикуляры к векторам скоростей точек А и В. Точка их пересечения и является мгновенным центром скоростей.

Рис. 10.9. – К задаче 2

Определим угловую скорость шатуна. Для этого необходимо знать величину скорости какой-либо точки и ее расстояние до мгновенного центра скоростей. В данном случае

(10.10)

Расстояние АР найдем из условий задачи. Сначала определим угол АВР

Поскольку в треугольнике АВР нам известна лишь сторона АВ, то для применения теоремы синусов необходимо определить угол АРВ. Рассмотрим треугольник ОРЕ

При помощи теоремы синусов находим

Подставляем полученное значение в формулу (10.10)

Определяем относительную скорость вращения точки В вокруг полюса А

Вектор скорости υ_ВА перпендикулярное шатуна АВ и направлен в сторону вращения шатуна. Прикладываем его в точке В и дальше по правилу параллелограмма определяем вектор скорости точки В. Модуль скорости данной точки находим аналитически

Задача решена.

Задание № 10 к ргр

1 0.1. Зубчатое колесо радиуса R = 0,5 м зажато между двумя параллельными рейками, которые движутся в противоположные стороны с постоянными скоростями υ₁ = 2,5 м/с и υ₂ = 1,5 м/с. Найти скорость центра колеса В и угловую скорость колеса, если оно катится по рельсам без скольжения.

Ответ: υ_О = 0,5 м/с, ω = 4 рад/с.

К задаче 10.1

1 0.2. Шар радиуса R = 1 см катится без скольжения по горизонтальной прямой, причем движение его центра является ускоренным и описывается уравнением

Определить скорость и ускорение точек А₁, А₂, А₃ и А₄ концов вертикального и горизонтального диаметров шара.

Ответ: υ₁ = 0 м/с, υ₂ = 1,41 м/с, υ₃ = 2 м/с, υ₄ = 1,41 м/с, а₁ = 1 м/с², а₂ = 2,24 м/с², а₃ = 2,24 м/с², а₄ = 1 м/с².

К задаче 10.2

1 0.3. Привод поршневого насоса состоит из шкива 2 и шестерни 3, жестко закрепленных на валу О₁, вращение которого передается на вал кривошипа В с с помощью шестерен 3 и 4. Вал В приводит в движение шатун АВ, шток ВС и поршень С. Определить угловую скорость шатуна АВ и скорость точки В при вертикальном положении кривошипа ОА, если его частота вращения п = 60 об/мин, ОА = 20 см, АВ = 100 см, радиус шестерен R₃ = 10 см, R₄ = 30 см.

Ответ: υ_В = 0,42 м/с, ω = 0 рад/с.

К задаче 10.3

1 0.4. Кривошип ОА вращается равномерно вокруг оси Ох с угловой скоростью ω = 4 рад/с. Определить ускорение точки В в момент времени, когда кривошип образует угол α = 60° с горизонтом, если длина шатуна АВ = 40 см.

Ответ: а_В = 0,6 м/с².

К задаче 10.4.

1 0.5. Определить мгновенный центр скоростей, угловую скорость и угловое ускорение плоской фигуры, если в настоящий момент времени ускорения точки А а_А = 0,15 м/с², а ускорение точки В а_В = 0,10 м/с². Векторы ускорений точек А и В перпендикулярны отрезке АВ и направлены в одну сторону. длина отрезка АВ = 10 см.

Ответ: ω = 0 рад/с, ε = 0,5 рад/с².

К задаче 10.5

1 0.6. Определить скорости точек А, В и D механизма в положении, в котором кривошип, вращающийся с угловой скоростью ω = 20 рад/с, образует угол φ = 30° с горизонтальной линией. Длина кривошипа ОА = 50 мм, расстояние между осями ОС = 200 мм, АВ = 250 мм, BD = 200 мм.

Ответ: υ_А = 1,0 м/с, υ_В = 0,45 м/с, υ_D = 1,04 м/с,

К задаче 10.6

1 0.7. Уравнение движения точки М обода колеса электровоза имеет вид

Начало координат совпадает с начальным положением точки. Определить положение мгновенного центра ускорений и ускорения мгновенного центра скоростей в момент времени t, за который колесо повернулось на угол 120°.

К задаче 10.7 Ответ: а_Р = 27,7 м/с².

1 0.8. Определить скорость и ускорение точки В четырехзвенного механизма в момент времени, когда звено ОА горизонтально, а звено BD направлено под углом 30° к горизонтальной линии. Кривошип ОА длиной r = 10 см вращается против часовой стрелки с постоянной частотой п = 100 об/мин. Длина звена АВ = 100 см, звена ВD = 40 см.

Ответ: υ_В = 1,27 м/с, а_Р = 0,3 м/с².

К задаче 10.8

1 0.9. В дифференциальном механизме кривошип ОА вращается вокруг неподвижной оси О с угловой скорость ω_ОА = 2 рад/с, а колесо 1 вокруг той же оси со скоростью ω₁ = 4 рад/с. Чему равна скорость точки С на верхнем конце диаметра колеса 2, если радиусы колес r₁ = r₂ = 0,1 м? Кривошип и колесо 1 вращаются одном направлении.

Ответ: υ_С = 0,4 м/с.

К задаче 10.9

10.10. Электропоезд при отходе от станции движется на прямолинейном участке пути с ускорением а = 3 м/с², причем его колеса катятся без буксования и скольжения. Найти ускорение мгновенного центра скоростей колеса через 2 с после отхода поезда, если радиус колеса R = 0,5 м.

Ответ: а_Р = 72 м/с².

1 0.11. Кривошип ОА кривошипно-шатунного механизма вращается с постоянной угловой скоростью ω = 6 рад/с. Определить угловое ускорение ε и угловую скорость ω₂ шатуна АВ в положении механизма, когда кривошип и шатун находятся на горизонтальной прямой. Длина кривошипа ОА = 0,2 м, длина шатуна АВ = 0,6 м.

Ответ: ε = 0 рад/с², ω₂ = 2 рад/с.

К задаче 10.11

1 0.12. В планетарном механизме колесо 2 приводится в движение кривошипом ОА, вращающимся вокруг оси О неподвижного колеса 1. Чему равна скорость точки С на верхнем конце диаметра колеса 2, если радиусы колес r₁ = r₂ = 0,1 м, а угловая скорость кривошипа ω_ОА = 2 рад/с? Кривошип и колесо 1 вращаются в одном направлении.

Ответ: υ_С = 0,8 м/с.

К задаче 10.12

1 0.13. На цилиндр радиуса R = 0,5 м намотан трос, перекинутый через блок А. Конец троса движется со скоростью υ₁ = 2 м/с, в то время как центр цилиндра имеет скорость υ₂ = 3 м/с. Определить угловую скорость цилиндра, считая участок троса от цилиндра к блоку вертикальным. Также найти величины скоростей точек В и С на горизонтальном и вертикальном диаметрах цилиндра.

Ответ: ω = 10 рад/с, υ_В = 7 м/с, υ_С = 5,8 м/с.

К задаче 10.13.

1 0.14. Катушка радиуса R = 0,5 м, катящаяся без скольжения по горизонтальной плоскости, приводится в движение с помощью груза М. Груз, привязанный к нити, намотанной на барабан катушки, движется вниз имея в данный момент скорость υ = 2 м/с и ускорение а = 1 м/с². Определить ускорения точек В и С катушки находящихся в данный момент на разных концах ее вертикального диаметра. Радиус барабана катушки r = 0,3 м.

Ответ: а_В = 50,2 м/с², а_С = 50 м/с².

К задаче 10.14

1 0.15. Коленчатый вал в момент пуска двигателя вращается с угловой скорость ω = 2 рад/с и угловым ускорением ε = 1 рад/с². Определить ускорение поршня В и угловое ускорение шатуна АВ в крайнем правом положении кривошипа ОА. Длина кривошипа ОА = 20 см, длина шатуна АВ = 90 см.

Ответ: а_В = 0,02 м/с², ε_АВ = 0,91 рад/с².

К задаче 10.15

1 0.16. Определить скорости и ускорения поршней двигателя с V-образным расположением цилиндров, в момент когда φ = 90°, если длина кривошипа ОА = 10 см, длина шатунов АВ = АС = 14 см. Кривошип вращается с постоянной угловой скоростью ω₀ = 10 рад/с , а угол ВАС между осями цилиндров составляет 90°.

Ответ: υ_В = 0 м/с, υ_С = 1 м/с, а_В = 17,1 м/с², а_С = 1,0 м/с².

К задаче 10.16

1 0.17. Стержень О₁В проходит через трубку А, ось которой прикреплена к концу кривошипа длиной ОА = 10 см, который вращается с частотой n = 90 об/мин. Определить скорость ползуна D и угловые скорости звеньев О₁В и BD в момент времени, когда кривошип занимает вертикальное положение.

Ответ: υ_D = 2,1 м/с, ω_O1B = 1,9 рад/с, ω_ВD = 7,5 рад/с.

К задаче 10.17

10.18. Точильный станок приводится в движение педалью ОА = 24 см, колеблющейся вокруг оси О по закону

Точильный камень вращается вокруг оси О₁ с помощью стержня АВ, а оси О и О₁ перпендикулярны плоскости рисунка. Определить скорость точки D, лежащей на ободе точильного камня радиуса R = 2BO₁ в момент, когда ОА и О₁В расположены горизонтально.

Ответ: υ_D = 0,39 м/с.

К задаче 10.18

1 0.19. Кривошип длиной ОА = 14 см, вращающийся с частотой n = 300 об/мин вокруг неподвижной оси В, приводит в движение звено АВ = 1 м, проходящее через поворотную трубку с неподвижной осью О₁ и стержень ВС с ползуном С на конце. Определить скорость ползуна С в момент времени, когда кривошип занимает вертикальное положение, если ВС = 0,5 м, ОО₁ = 0,48 м.

Ответ: υ_С = 3,0 м/с.

К задаче 10.19