Глава 5. Центр параллельных сил и центр масс

5.1. Параллельные силы на плоскости

Равнодействующая двух сонаправленных параллельных сил Р₁ и Р₂ (рис. 5.1) имеет такое же направление, а ее модуль равен алгебраической сумме модулей слагаемых

Т очка приложения равнодействующей С определяется из равенства моментов сил, она всегда находится между точками А и В, деля отрезок АВ на части, обратно пропорциональные модулям сил:

Рис. 5.1. – Сложение параллельных сонаправленных сил

Равнодействующая двух противоположно направленных параллельных сил Р₁ и Р₂ (рис. 5.2) имеет направление большей силы, а ее модуль равен

Т очка приложения равнодействующей С лежит на продолжении отрезка АВ за точкой приложения большей силы, на расстояниях от точек А и В, обратно пропорциональных модулям приложенных к ним сил:

Рис. 5.2. – Сложение параллельных противоположно направленных сил

В случае, когда все действующие на тело силы параллельны, удобно направить ось Ох перпендикулярно силам, а Оу параллельно им (рис. 5.3). В этом случае проекции всех сил на ось Ох равны нулю, а условия равновесия принимают вид:

(5.1)

Рис. 5.3. – Условия равновесия системы параллельных сил

Вторая форма условий равновесия в случае параллельных сил имеет вид:

(5.2)

п ричем прямая АВ не должна быть параллельна силам.

5.2. Центр параллельных сил

Пусть мы имеем систему п параллельных сил (рис. 5.4), приводящуюся в равнодействующей R

приложенной в точке С.

Рис. 5.4. – Центр параллельных сил

Тогда центр параллельных сил – точка С приложения равнодействующей системы.

Определим метод нахождения центра параллельных сил. Направим ось z параллельно силам, а в точку приложения каждой из сил из центра координат О проведем радиус-вектор. Также проведем радиус-вектор к центру параллельных сил. Согласно теоремы Вариньона

Поскольку все силы направлены вдоль оси z, то можно записать

Выносим единичный вектор за знак суммы и окончательно получаем для радиус-вектора центра параллельных сил

(5.3)

В проекциях на координатные оси получаем

(5.4)

5.3. Центр масс твердого тела

Н а каждую часть тела вблизи поверхности Земли действует сила тяжести, направленная вертикально вниз (рис. 5.5). Если размеры тела значительно меньше радиуса Земли, то силы, действующие на отдельные части тела, можно считать параллельными и сохраняющими свою величину при повороте тела на любой угол.

Рис. 5.5. – Определение центра масс твердого тела

Центр масс твердого тела С – точка твердого тела, через которую проходит линия действия результирующей сил притяжения, действующих на отдельные части тела. Положение центра масс не меняется и не зависит от положения тела в пространстве, координаты центра масс твердого тела можно найти аналогично координатам центра параллельных сил

(5.5)

где ΔG_i – вес отдельных элементарных частей, i – количество частиц.

Из (5.5) можно найти положение центра масс, если разбить тело не на элементарные частицы, а на отдельные конечные части G_i, координаты центров масс которых известны. Центр масс может лежать и за пределами рассматриваемого тела, как в случае с кольцом.

5.4. Центры масс однородных тел

Для однородных тел вес ΔР_i каждой элементарной частички тела М_i

ΔР_i = ωV_i,

где ω – вес единицы объема тела, V_i – объем данной элементарной частички тела. Тогда для веса всего однородного твердого тела имеем

Р = ωV.

Координаты центра масс однородного твердого тела

(5.6)

где сумма находится по всем элементарными частицами.

В случае плоской однородной фигуры (рис. 5.6) формулы (5.6) приобретают вид

(5.7)

где F_i – площадь поверхности элементарной частицы тела, F – площадь всего тела.

С татический момент площади плоской фигуры относительно оси – сумма произведений элементарных площадей, входящих в состав фигуры, на алгебраические значения их расстояний до этой оси

Единица измерения статического момента площади плоской фигуры относительно оси – см³.

Рис. 5.6. – Определение центра масс плоской фигуры

Если известны статические моменты площади плоской фигуры относительно координатных осей, то координаты центра масс можно определить по формулам

Статический момент плоской фигуры относительно оси, проходящей через ее центр масс, равен нулю.

Вывод: положение центра масс однородного тела зависит только от его геометрической формы и не зависит от материала.

5.5. Способы определения центров масс

5.5.1. Симметрия

Т еорема: если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр масс лежит соответственно в этой плоскости, на оси или в центре симметрии.

Рис. 5.7. – Определение центров масс симметричных тел

Рассмотрим в качестве примера тело, имеющее плоскость симметрии. Поместим плоскость хОу в плоскости симметрии однородного тела (рис. 5.7). Выделим в этом теле две точки М_і и М'_і, симметричные относительно плоскости симметрии. Координаты этих точек по оси z равны по величине, но противоположны по знаку. Тогда проекция центра масс на данную ось

то есть центр масс данного тела находится в плоскости симметрии.

Следствия теоремы:

1. Центр масс однородного отрезке прямой лежит в его середине.

2. Центры масс окружности, поверхности и объема сферы находится в их геометрических центрах.

3. Центры масс ромба, прямоугольника и квадрата лежат в точках пересечения диагоналей.

4. Центр масс правильного многоугольника находится в центре вписанной или описанной окружности.

5.5.2. Разбиение

Если тело можно разбить на несколько частей, для которых положения центров масс известны (рис. 5.8), то координаты центра масс всего тела можно найти по формулам (5.6) и (5.7). При этом число слагаемых в каждой сумме будет равно числу частей, на которые разбито тело.

Рис. 5.8. – Метод разбиения

5.5.3. Дополнение

Этот способ является частным случаем разбиения. Он применяется к телам, которые имеют вырезы, если центры масс тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо определить центр масс круглой пластины радиуса R с вырезом радиуса r (рис. 5.9), причем расстояние С₁С₂ = а. Для этого сначала найдем площади пластины F₁ и вырезанной части F₂, а также площадь всей фигуры

причем площадь вырезанной части всегда считается отрицательной.

Фигура имеет ось симметрии х, на которой находится центр масс (у = 0), для его определения необходимо найти только ординаты центров масс каждой части

По формуле (5.5) находим

Знак ''–'' указывает на то, что центр масс фигуры лежит слева от начала координат.

Рис. 5.9. – Метод дополнения

5.5.4. Интегрирование

Если тело невозможно разбить на несколько простых составных частей, то тело сначала разбивают на произвольные бесконечно малые объемы, после чего положение его центра масс определяют по формулам

(5.8)

В случае плоской фигуры формулы интегрирования приобретают вид

(5.9)

В случае однородной линии

(5.10)

5.5.5. Экспериментальный метод

Центры масс неоднородных тел сложной конфигурации (самолет, автомобиль и т.д.) можно определить только экспериментально. Одним из таких методов является метод подвешивания, при котором исследуемое тело подвешивают на тросе за различные точки. Поскольку направление троса каждый раз дает направление действия силы тяжести, то точка пересечения этих направлений указывает положение центра масс.

Рис. 5.10. – Способ взвешивания

Другим способом определения центра масс является метод взвешивания (рис. 5.10). Самолет колесом В устанавливают на весы и определяют силу давления, равную нормальной реакции N₁. После этого на весы устанавливают колесо А и находят нормальную реакцию N₂. Положение центра масс С по горизонтали определяют, приравняв к нулю сумму моментов реакций относительно С.

5.6. Теоремы для определения центров масс (теоремы Паппа-Гульдина)

Теорема 1. Объем тела, образованного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести (рис. 5.11, слева)

(5.11)

г де F – площадь плоской фигуры, 2πx_c – длина окружности.

Рис. 5.11. – Теоремы об определении центров масс

Теорема 2. Площадь поверхности тела, образованного вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, но не пересекающей ее, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описанной ее центром тяжести (рис. 5.11, справа)

(5.12)

где L – длина кривой, 2πx_c – длина окружности, описанной центром масс фигуры.

5.6. Центры масс некоторых тел

Центр масс треугольника (рис. 5.12) всегда лежит в точке пересечения его медиан, то есть в точке С на расстоянии трети медианы от данной стороны

.

Рис. 5.12. – Центр масс треугольника

Центр масс трапеции со сторонами АЕ = а, ВD = b и высотой h (рис. 5.14) всегда лежит на прямой FK, соединяющей середины параллельных сторон трапеции, причем расстояние до основания АЕ равно

(5.13)

Центр масс дуги окружности радиуса R с центральным углом 2α лежит на оси симметрии дуги и его положение определяется только координатой х_с (рис. 5.15)

(5.14)

Аналогичный результат получается для центра тяжести площади сектора окружности.

Центр масс конуса лежит на отрезке, соединяющем его вершину с центром тяжести основания на расстоянии 1/4 длины этого отрезка от центра тяжести основания (рис. 5.13)

Эту формулу можно применить для определения центра тяжести объема четырехгранной и многогранной пирамид.

Рис. 5.13. – Рис. 5.14. – Рис. 5.15. –

Центр масс конуса Центр масс трапеции Центр масс дуги окружности