Вопросы для самоконтроля

1. Какая разница между понятиями главного вектора и равнодействующей?

2. Сколько независимых уравнений равновесия можно записать для произвольной пространственной системы сил?

3. Что называется главным моментом системы сил относительно заданного центра?

4. Сколько независимых уравнений равновесия можно записать для пространственной системы параллельных сил?

Задание № 4. «Произвольная пространственная система сил» Рекомендации к решению задач

1. Выделить объект (материальную точку или тело), равновесие которого будет рассматриваться в задаче.

2. Изобразить активные силы, действующие на исследуемое тело.

3. Освободить систему от связей, заменив их действие реакциями.

4. Убедиться в том, что система является статически определимой, после чего выбрать систему координат, в которой нахождение неизвестных величин будет наиболее простым.

5. Записать уравнения равновесия (4.13) для рассматриваемой системы.

6. Решить уравнения равновесия, проверить полученные результаты.

Пример решения задачи

З адача 1. На горизонтальный вал, закрепленный в подшипниках А и В насажен шкив радиуса r₁ = 20 см и барабан радиуса r₂ = 20 см (рис. 4.7). Вал приводится во вращение ремнем, наброшенным на шкив, при этом равномерно поднимается груз весом Р = 540 Н. Пренебрегая весом барабана, вала и шкива, определить реакции в подшипниках А и В, если известно, что натяжение ведущей ветви ремня Т₁ в два раза больше натяжения Т₂ ведомой ветви. Размеры вала: а = 40 см, b = 60 см, α = 30°.

Рис. 4.7. – К задаче 1

Решение

Если груз движется равномерно, то вся система удовлетворяет условиям равновесия (4.13). Ось Ох направим вдоль вала, поскольку большинство сил перпендикулярными к ему, и определим реакции в подшипниках А и В. Поскольку подшипники не фиксируют осевого перемещения вала, то в каждом из них возникает по две реакции, перпендикулярных оси Ох.

Составляем условия равновесия системы, зная, что сила натяжения нити F равна весу груза Р

Зная, что Т₁ = 2Т₂, из третьего уравнения находим натяжения ветвей ремня

Подставим полученные результаты в последнее уравнение и определим Y_В

Горизонтальную реакцию Y_А найдем из первого уравнения

Вертикальные реакции находим, решив последовательно четвертое и второе уравнения

Задача решена.

Задания № 4 к ргр

4 .1. Груз Q = 800 Н опускается с постоянной скоростью на канате, накинутом на барабан радиуса r_D = 10 см. На этом же валу находится колесо Е и тормозной шкив С радиуса R_С = 25 см. К колесу Е приложена пара сил с моментом Т = 40 Н∙м, тормозящая вращение вала. Поскольку пара сил не обеспечивает равномерного движения, то дополнительное торможение системы осуществляется колодочным тормозом, который прижимается силой Р к шкиву С. Определить величину этой силы и реакции в подшипниках А и В, если сила, действующая между тормозом и шкивом F = 0,5Р. Размеры вала: а = 45 см, b = 50 см, с = 35 см, е = 30 см.

Ответ: Y_A = 104,6 Н; Z_A = 516,9 Н; Y_B = 55,4 Н; Z_B = 603 Н; P = 320 Н.

К задаче 4.1

4 .2. Косозубая шестерня радиуса r = 10 см находится на валу, закрепленном в подшипнике А (шарнирно неподвижная опора) и подшипнике В (шарнирно подвижная опора). На точку К шестерни со стороны второго колеса действует сила Т с проекциями на координатные оси Т_х = 30 Н, Т_у = 280 Н, Т_z = 120 Н. К равномерно вращающемуся валу приложенная пара сил с моментом т относительно оси Ох. Пренебрегая весом вала и шестерни, определить реакции в подшипниках А и В и момент пары т, если а = 0,5 м; b = 1 м.

Ответ: т = 28 Н∙м; R_Aх = - 30 Н; R_Aу = - 186,7 Н; R_Az = - 82 Н;

К задаче 4.2 R_Bу = - 93,3 Н; R_Bz = - 38 Н.

4 .3. Вал и рукоятка подъемного механизма расположены в одной вертикальной плоскости. Груз весом Q = 250 Н, подвешенный на шкиве, уравновешивается силой Р, приложенной перпендикулярно к рукоятке механизма. Пренебрегая весом вала и шкива, найти величину силы Р, если радиус шкива R = 15 см, геометрические размеры: а = 15 см, b = 10 см, с = 25 см, h = 12 см.

Ответ: Р = 250 Н; Х_A = - 360 Н; Z_A = 125 Н; Х_B = 110 Н; Z_В = 125 Н.

К задаче 4.3

4 .4. Сила F = 2Q = 120 Н, приложенная к шкиву, уравновешивается парой сил с моментом М = 18 Н∙м. Составить уравнение моментов сил относительно оси Ох и определить реакцию Y_А в подшипнике А, если радиус шкива r = 0,3 м, а = 0,3 м, силы F и Q параллельны оси Оу.

Ответ: Y_A = 90 Н.

К задаче 4.4

4 .5. Груз весом Q = 10 кН равномерно поднимается двигателем М с помощью бесконечной цепи. Определить реакции в опорах А и В, а также натяжение цепи, если ветви цепи наклонены к горизонту под углом 30°. Известно, что r = 10 см, R = 20 см, натяжение ведомой ветви T₂ в два раза меньше натяжения ведущей ветви T₁.

Ответ: T₁ = 10 кН; T₂ = 5 кН; Х_A = - 5,2 кН; Z_A = 6 кН; Х_B = -7,8 кН; Z_В = 1,5 кН.

К задаче 4.5

4 .6. На горизонтальном валу АВ находится колесо С радиуса R = 1 м и шестерня D радиуса r = 10 см. К колесу приложена горизонтальная сила Р = 100 Н, а на шестерню действует вертикальная сила Q. Определить силу Q и реакцию в подшипниках, если известно, что система находится в состоянии равновесия.

Ответ: Q = 1 000 Н; Х_A = - 10 Н; Z_A = -900 Н; Х_B = - 90 Н; Z_В = - 100 Н.

К задаче 4.6

4 .7. На горизонтальном валу, закрепленном в подшипниках А и В, находятся шкив радиуса r₁ = 20 см и барабан радиуса r₂ = 15 см. Вал приводится во вращение ремнем, накинутым на шкив, при этом равномерно поднимается груз весом Р = 540 Н.

К задаче 4.7

Пренебрегая весом вала, барабана и шкива, определить реакции в подшипниках А и В, а также натяжение Т₁ ведущей ветви ремня, если известно, что оно вдвое больше натяжения ведомой ветви Т₂. Геометрические размеры вала: а = 40 см, b = 60 см, α = 30°.

Ответ: T₁ = 810 Н; Y_A = - 1890 Н; Z_A = 108 Н; Y_B = 205 Н; Z_В = 162 Н.

4.8. При вертикальном положении средней плоскости колена вала сила давления на середину его шейки со стороны шатуна равна Р = 12 кН и направлена перпендикулярно оси плоскости под углом α = 15° к горизонту. В точке С на оси вала закреплен маховик весом G = 12 кН, а в точке Е – шкив диаметром D = 80 см с ремнем, передающим крутящий момент на вал рабочей машины. Ветви ремня лежат в плоскости шкива и образуют угол β = 30° с горизонтом. Натяжение Т₁ ведущей ветви ремня вдвое больше натяжение ведомой ветви Т₂, а расстояние от оси вала до оси шейки колена r = 15 см. Определить натяжения ведущей Т₁ и ведомой Т₂ ветвей ремня и реакции в подшипниках при равномерном вращении вала. Вес вала и шкива не учитывать.

Ответ: T₁ = 8,7 кН; T₂ = 4,3 кН; Y_A = - 4,5 кН; Z_A = -0,2 кН; Y_B = 27,4 кН; Z_В = 2,5 кН.

4 .9. Кузов автомобиля-самосвала удерживается под углом α = 30° к горизонту. Задний борт кузова удерживается с помощью цепи СН таким образом, что борт и дно кузова лежат в одной плоскости. Определить реакции шарниров А и В, а также натяжение Т цепи СН, если вес борта Р = 600 Н, АН = АС.

Ответ: T = 368 Н; Y_A = 110 Н; Z_A = 0 Н; Y_B = -150 Н; Z_В = 260 Н.

К задаче 4.8 К задаче 4.9

4.10. Для защиты от радиации сооружают толстостенные помещения. Двери таких помещений представляют собой прямоугольный железобетонный параллелепипед АВСDKEHM весом Р = 8 кН. Определить реакции подпятника А и подшипника В, если двери открыты так, что образуют угол α = 60° с осью Ох. Толщина двери а ее ширина b = 3а, высота h = 5а.

Ответ: Х_A = 504 Н; Y_A = 2 480 Н; Z_A = 8 000 Н; Х_В = - 504 Н; Y_В = - 2 480 Н.

4.11. Определить реакции в радиально-упорном подшипнике В и радиальном подшипнике А, а также силу давления Q колеса на цилиндрическую прямозубую шестерню, если β = 30°, величина силы давления колеса на коническую шестерню равна Р = 1000 Н, эта сила образует угол 60° с осью Ох и угол 225° с осью Оz. Геометрические размеры: R = 20 см, r = 10 см, α = 60°, весом деталей пренебречь.

Ответ: Q = 835 Н, Х_О = -500 Н; Y_О = -623 Н; Z_О = 464 Н; Y_А = -600 Н; Z_А = 660 Н.

4.12. Определить реакции в радиально-упорном подшипнике В и радиальном подшипнике А и величину момента М приложенной к валу пары, если сила давления зубьев колеса на косозубую шестерню приложена в точке С и равна Р = 1000 Н. Эта сила образует угол 60° с осью Ох и угол 240° с осью Оz. Радиус шестерни r = 15 см, вес деталей не учитывать.

Ответ: М = 75 Н∙м, Х_О = 167 Н; Y_О = - 707 Н; Z_О = - 285 Н; Х_А = - 667 Н; Z_А = 785 Н.

К задаче 4.10 К задаче 4.11 К задаче 4.12

4.13. Лестница опирается на гладкую стену на высоте h = 2,5 м, а концом D упирается в выступ, находящийся на гладком полу на расстоянии а = 1,5 м от стены. Определить реакции в точках А, В, С и D, если вес лестницы Р = 45 Н приложен в ее центре.

Ответ: Z_A = 22,5 Н; Y_B = 0 Н; Y_C = 13,5 Н; Y_D = - 13,5 Н; Z_D = 22,5 Н.

4.14. На токарном станке обрабатывается деталь весом G = 400 Н. Определить момент, который должен быть приложен к детали для удержания ее в состоянии равновесия, если со стороны резца в точке К на нее действует сила F, имеющая следующие проекции на координатные оси: F_х = - 3 кН, F_у = 2,4 кН, F_z = 12 кН. Пренебрегая трением, также определить реакции в точках А и В как функцию координаты резца х, определяемой относительно точки А.

Ответ: М = 480 Н∙м, Х_А = 3 кН; Y_А = (30х – 2 550) Н; Z_А = (-11,8 + 0,15х) кН; Х_В = 0 кН; Y_В = (150 – 30х) Н; Z_В = (200 – 150х) Н.

4.15. Храповое колесо радиусом r = 10 см и барабан лебедки радиусом R = 20 см и весом 2 кН находятся на общем валу АВ длиной 80 см. На барабан намотан трос, который несет груз М весом G = 3 кН. Определить реакции в подшипниках А и В и усилия в стопорной собачке ED, образующей с горизонтом угол α = 60°, если свисающая часть троса делит барабан пополам. Края барабана находятся на расстоянии 10 см от подшипников. Весом собачки, храпового колеса и троса, а также расстоянием между колесом и барабаном пренебречь.

Ответ: S_ED = 3 кН, Х_А = - 1,3 кН; Z_А = 4,8 кН; Х_В = - 0,19 кН; Z_В = 2,8 кН.

К задаче 4.13 К задаче 4.14 К задаче 4.15

4 .16. Из колодца при помощи ворота равномерно поднимают груз весом Q = 90 Н. Пренебрегая весом ворота, определить силу давления на подшипники А и В а также силу Р, которую необходимо приложить перпендикулярно рукояти CD длиной 54 см в ее вертикальном положении. Радиус барабана r = 12 см.

Ответ: Р = 20 Н, Х_А = 2 Н; Z_А = - 54 Н; Х_В = - 22 Н; Z_В = - 36 Н.

К задаче 4.16

4 .17. При помощи ворота равномерно поднимают груз весом Q = 1000 Н. Пренебрегая его весом, определить полные реакции в подшипниках А и В и величину силы Р, которую необходимо приложить перпендикулярно рукояти CD длиной 50 см при ее горизонтальном положении. Радиус вала r = 11 см.

Ответ: Р = 220 Н, R_А = 800 Н; R_В = 420 Н.

К задаче 4.17

4 .18. Шатун давит на коленчатый вал с силой Р = 12 кН, перпендикулярной к шейке вала и направленной под углом α = 75 ° к вертикали. Пренебрегая весом вала, определить составляющие реакций в подшипниках А и В, а также момент пары сил М, которую необходимо приложить к маховику С весом Q = 4,2 кН, чтобы вал находился в состоянии равновесия.

К задаче 4.18 Ответ: М = 1,16 кН∙м, Y_А = 4,97 кН; Z_А =

= - 2,53 кН; Y_В = 6,63 кН; Z_В = 3,62 кН.

4.19. На вал 1 ворота намотан трос, удерживающий груз весом Q. К ободу колеса 2, радиус которого вчетверо больше радиуса вала, прикреплена нить, натягиваемая грузом с силой Р = 80 Н и сходящая с колеса в точке F по касательной так, что радиус DF колеса образует с вертикалью угол α = 60°. Определить величину груза Q, при которой система будет находиться в состоянии равновесия, а также реакции в подшипниках А и В, если вес вала G = 600 Н приложен в точке С, причем АС = 40 см.

Ответ: М = 1,16 кН∙м, Y_А = 4,97 кН; Z_А = - 2,53 кН;

К задаче 4.19 Y_В = 6,63 кН; Z_В = 3,62 кН.

4 .20. На валу редуктора жестко закреплены два зубчатых колеса – коническое 1 и цилиндрическое 2. Опорами вала являются подшипники, причем левый воспринимает только радиальную нагрузку, а правый – радиальную и осевую. На колесо 1 действуют три силы: касательная Р₁ = 4 кН, радиальная Q₁ = 1,28 кН и осевая S₁ = 0,48 кН. Определить реакции опор А и В, а также силы P₂ и Q₂ = 0,36P₂, приложенные к колесу 2, если известно, что система находится в состоянии равновесия. Весом вала и колес пренебречь, необходимые размеры взять из рисунка.

Ответ: Р₂ = 8,8 кН; Q₂ = 3,17 кН; Х_А = 7,3 кН; Z_А = - 1,95 кН; Х_В = 5,5 кН; Y_В = 0,48 кН; Z_В = 0,05 кН.

К задаче 4.20

4 .21. На горизонтальном валу, установленном в подшипниках, жестко закреплены два зубчатых колеса диаметрами d₁ = 300 мм и d₂ = 450 мм. На колесо 1 действуют две силы: касательная Р₁ = 1800 Н и радиальная Q₁ = 0,364Р₁ Н. Определить реакции опор А и В, а также силы P₂ и Q₂ = 0,364P₂, приложенные к колесу 2, если известно, что система находится в состоянии равновесия. Весом вала и колес пренебречь, необходимые размеры взять из рисунка.

Ответ: Р₂ = 1 200 Н; Q₂ = 437 Н; Х_А = - 1 867 Н; Z_А = - 191 Н; Х_В = 104 Н; Z_В = 736 Н.

К задаче 4.21