Глава 4. Произвольная пространственная система сил

4.1. Главный вектор и главный момент пространственной системы сил

Теорема о переносе линии действия силы: не меняя состояния твердого тела, приложенную к нему силу можно перенести в любую точку этого тела параллельно самой себе, добавив при этом присоединенную пару.

Доказательство. Пусть к твердому телу приложена сила F в точке А (рис. 4.1). В произвольной точке О этого же тела приложим уравновешенную с истему сил (F', F''), модули которых равны силе F, а линии действия параллельны силе F. Полученная система из трех сил эквивалентна силе F, в то же время силы F и F'' образуют пару. Поэтому сила F эквивалентна силе F', приложенной в точке О и паре сил (F, F'') с моментом, равным моменту силы F относительно центра приведения О.

Рис. 4.1. – Теорема о перенесении линии действия силы

Главный вектор системы сил – геометрическая сумма всех сил системы:

(4.1)

Проекции главного вектора на оси декартовой системы координат имеют следующий вид

(4.2)

Модуль главного вектора определяется по формуле

. (4.3)

Углы между направлением главного вектора и координатными осями находятся при помощи направляющих косинусов

(4.4)

Главный момент системы сил относительно центра сведения О – геометрическая сумма моментов всех сил системы относительно этого центра О

(4.5)

Проекции главного момента на оси декартовой системы координат имеют следующий вид

(4.6)

Модуль главного момента определяется по формуле

(4.7)

Углы между направлением главного момента и координатными осями

(4.8)

4.2. Приведение произвольной пространственной системы сил

Теорема: если силы, произвольно расположенные в пространстве, не уравновешиваются, то их можно свести к одной из эквивалентных систем:

1. Главному вектору системы F, приложенному в произвольно выбранном центре О, и присоединенной паре сил, момент М₀ которой равен главному моменту системы сил относительно центра приведения.

2. Двум скрещивающимся силам, одна из которых приложена в центре сведения О, а другая в некоторой произвольной точке.

Отдельные случаи приведения сил, произвольно расположенных в пространстве:

а) Главный вектор системы сил равны нулю, а главный момент не равен нулю

F = 0 и М₀ ≠ 0,

тогда система приводиться к паре сил с моментом М₀, который определяется по формулам (4.6) и (4.7).

б) Только главный момент пространственной системы сил равен нулю

F ≠ 0 и М₀ = 0,

тогда силы приводятся к главному вектору F, линия действия которого проходит через точку приведения О, а величина определяется по формулам (4.2) и (4.3).

в) Если главный вектор и главный момент системы сил не равны нулю

F ≠ 0 і М₀ ≠ 0, но F ┴М₀,

то система приводится к равнодействующей F, которая не проходит через центр О и определяется по формулам (4.2) и (4.3). Данный случай всегда имеет место в произвольной плоской системе параллельных сил, для которых F ≠ 0.

г) Если главный вектор и главный момент системы сил не равны нулю

R ≠ 0 і М₀ ≠ 0, но R || М₀,

то система приводится к равнодействующей R и паре (Р, Р'), лежащей в плоскости, перпендикулярной к силе (рис. 4.2). Такая совокупность силы и пары называется динамическим винтом, а линия действия силы R – осью винта.

Рис. 4.2. – Динамический винт

Если одну из сил пары сложить с силой F, то данную систему можно заменить двумя скрещивающимися силами Р и Q (рис. 4.3), но свести систему к одной силе или одной паре невозможно.

д ) Если главный вектор и главный момент системы сил не равны нулю

F ≠ 0 і М₀ ≠ 0,

а векторы F и М₀ не перпендикулярны и не параллельны, то такая система сил тоже приводится к динамическому винту, но ось винта уже не будет проходить через центр О.

Рис. 4.3. – Скрещивающиеся силы

4.3. Условия равновесия произвольной пространственной системы сил

Теорема: для равновесия любой пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы и ее главный момент относительно произвольного центра приведения равнялись нулю:

(4.9)

Запишем скалярные условия равновесия пространственной системы сил, вытекающие из (4.9):

(4.10)

Из (4.10) следует, что для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на координатные оси и суммы моментов этих сил относительно координатных осей равнялись нулю.

Отдельные случаи равновесия пространственной системы сил:

1. Равновесие пространственной системы параллельных сил

Поскольку все силы параллельны, то направим координатную ось Оz параллельно этим силам (рис. 4.4). В таком случае из шести условий равновесия останется три:

(4.11)

Вывод: для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на параллельную ось равнялась нулю и алгебраические суммы моментов этих сил относительно двух других осей были равны нулю.

Рис. 4.4. – Пространственная система параллельных сил

2. Равновесие твердого тела с одной неподвижной точкой

Пусть на тело с неподвижной точкой О действует пространственная система п сил (рис. 4.5). Примем за центр приведения точку О, тогда главный вектор и главный момент системы находятся по формулам

Но главный вектор системы уравновесится реакцией в неподвижной точке О, поэтому для равновесия должен равняться нулю главный момент системы. В скалярном виде условия равновесия системы с неподвижной точкой:

(4.12)

Вывод: для равновесия твердого тела с одной неподвижной точкой необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов относительно координатных осей с центром в точке О равнялась нулю.

Рис. 4.5. – Равновесие тела с неподвижной точкой

3. Равновесие твердого тела с двумя неподвижными точками (осью)

Пусть на тело с неподвижными точками О₁ и О₂ действует пространственная система п сил (рис. 4.6). По принципу освобождения от связей приложим в точках О₁ и О₂ неизвестные реакции R₁ и R₂. Поскольку их направления неизвестны, то реакции запишем через их проекции на координатные оси. Условия равновесия твердого тела

В скалярной форме условия равновесия имеют вид:

(4.13)

Т олько в последнее уравнение не входят реакции связей, поэтому оно и является единственным условием равновесия твердого тела с двумя неподвижными точками (неподвижной осью).

Вывод: для равновесия твердого тела с двумя неподвижными точками необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма моментов активных сил относительно оси закрепления (вращения) равнялась нулю.

Рис. 4.6. – Равновесие тела с неподвижной осью