2.2. Теплопровідність плоскої стінки

В основі розрахунку теплопровідності плоскої стінки лежить диференційне рівняння теплопровідності, яке для одномірного стаціонарного температурного поля без внутрішніх джерел теплоти має вигляд:

. (2.5)

На рис. 2.1. приведена схема плоскої однорідної стінки товщиною δ з постійною теплопровідністю (b=0).

Рис. 2.1. Однорідна плоска стінка

На зовнішніх поверхнях підтримуються постійні температури t_c1 і t_c2, значення яких згідно з граничними умовами першого роду задані, причому t_c1>t_c2. Так як температурне поле одномірне, то ізотермічні поверхні плоскі та розташовуються перпендикулярно до вісі Ох.

Після інтегрування (2.5) одержимо рівняння розподілу температури в плоскій стінці, яку розглядаємо:

, (2.6)

З якого видно, що температура по товщині стінки змінюється за лінійним законом.

Використовуючи закон Фур’є , можна отримати вираз для теплового потоку:

. (2.7)

Різницю температур Δt=t_c1 – t_c2 називають температурним напором, а відношення , Вт/(м∙ К) - тепловою провідністю. Величина, обернена теплові провідності - , м² ∙К/Вт, називається тепловим (термічним) опором. Враховуючи це:

. (2.8)

При заданій густині теплового потоку q (гранична умова другого роду) з ( 2.6) і (2.8) можна одержати рівняння розподілу температури у наступному вигляді:

. (2.9)

Це рівняння показує, що при інших рівних умовах температура у стінці зменшується тим швидше, чим більша густина теплового потоку.

Виходячи з (2.2) можна визначити загальну кількість теплоти, яка передається крізь поверхню стінка F за проміжок часу τ :

. (2.10)

На практиці часто зустрічаються багатошарові плоскі стінки, які складаються з декількох шарів різних матеріалів. Такими являються, наприклад, стіни будівель, в яких на основному цегляному шарі з однієї сторони є внутрішня штукатурка, а з іншої – зовнішнє облицювання. Обмурування котлів, печей та інших теплових пристроїв також звичайно складається з декількох шарів.

Розглянемо теплопровідність багатошарової плоскої стінки, котра складається з n однорідних шарів, між якими має місце ідеальний тепловий контакт. Використовуючи раніше приведене рівняння для плоскої однорідної стінки, можна одержати вираз для густини теплового потоку:

, (2.11)

де t_c1, t_c(n+1) - температури зовнішніх поверхонь багатошарової стінки, К.

При порівняні перенесення теплоти крізь багатошарову стінку та одношарову стінку з однорідного матеріалу зручно ввести поняття еквівалентної теплопровідності λ_екв багатошарової стінки. Вона рівні теплопровідності однорідної стінки, товщина якої дорівнює товщині багатошарової стінки , а термічний опір дорівнює термічному опору багатошарової стінки, котра розглядається, тобто:

,

звідки:

. (2.12)

Враховуючи (2.12) вираз (2.11) можна представити у вигляді:

(2.13)

Температури на межах зіткнення двох сусідніх шарів визначаються за формулою:

(2.15)