Часть 4. Многогрупповое приближение

4.1. Одногрупповое диффузионное приближение (моноэнергетические тепловые нейтроны)

4.1. Выбор числа групп и особенности подготовки многогрупповых констант

4.2. Многогрупповое уравнение для плотности потока нейтронов и его решение

4.3. Свертка многогрупповых констант для малогрупповых приближений. Многогрупповое уравнение для ценности нейтронов и его решение

4.1 Одногрупповое диффузионное приближение.

Распространение нейтронов в среде можно рассматривать аналогично

процессу диффузии газа в атмосфере и применять закон Фика и уравнение

диффузии.

Диффузионное приближение справедливо только при следующих условиях:

- нейтрон рассматривается как точечная частица и пренебрегается нейтрон-нейтронным взаимодействием, считается, что энергия тепловых нейтронов практически не меняется при столкновениях с ядрами среды;

- ядра среды должны быть достаточно тяжелыми для обеспечения

изотропного рассеяния (для поправки на анизотропность рассеяния вводят

транспортные величины);

- макроскопические сечения рассеяния должны быть неизменными

или, в крайнем случае, слабо зависеть от пространственных координат;

- среда не должна содержать сильно локализованных источников или

поглотителей нейтронов, поток нейтронов должен слабо меняться на длине

свободного пробега нейтрона, что часто выражается условием λ∇ф/ф<< 1

При решении уравнения диффузии всегда рассматривается «средний» нейтрон. Рождающиеся в реакциях деления свободные нейтроны двигаются хаотично, рассеиваясь на ядрах среды на произвольные углы и замедляясь. При этом расстояние между столкновениями, угол рассеяния, скорость, энергия являются случайными величинами, т.е. не являются постоянными и не могут быть выражены функцией от времени. Для того чтобы решить уравнение диффузии с коэффициентами, зависящими от этих случайных величин, вводят понятие нейтрона с усредненными параметрами. Такой нейтрон всегда имеет одну и ту же скорость между столкновениями (хотя реально скорость может и расти, и уменьшаться), проходит одно и то же расстояние между двумя последовательными столкновениями, одно и то же число столкновений в единицу времени, а также всегда имеет одинаковый угол рассеяния π/2 .

Плотность потока нейтронов Ф можно определить как число нейтронов ΔN пересекающих в единицу времени Δt единицу площади ΔS.

Ф = ΔN/(Δt* ΔS) [см^-2*с^-1] или [нейтр./см²*с]

Всегда имеет место направленное перемещение нейтронов из области с большей плотностью потока нейтронов Ф в область с меньшей плотностью потока нейтронов Ф. Это смещение описывается, векторной величиной называемое током нейтронов.

Результирующий ток нейтронов описывается законом Фика:

J = -D*gradn ,гдеD – коэффициент диффузии.

Баланс нейтронов в единице объема определяется тремя процессами

(4.1.1)

Скорость генерации нейтронов [нейтр./см³с] – число нейтронов, появляющихся(рождаемых) в единицу времени в единичном объеме 1 см³

– можно записать как функцию S(r,t).

Скорость поглощения [нейтр./см³с] – число нейтронов, поглощаемых в единицу времени в единичном объеме 1 см³среды – можно записать в

виде ∑a(r)Ф(r,t)

Скорость утечки описывается выражением P(x,y,z)= -DΔ Ф(x,y,z) (4.1.2)

Или

(4.1.3)

Подставляя в условие баланса нейтронов выражения для скоростей генерации поглощения и утечки нейтронов, получим уравнение диффузии нейтронов для среды, свойства которой изменяются плавно

(4.1.4)

При скачкообразном (резком) изменении свойств, например, на границах сред, необходимо для каждой среды записывать это уравнение с соответствующими граничными условиями. Для однородной среды, свойства которой не зависят от координат

(4.1.5)

Уравнение диффузии для стационарной задачи (нет переменной времени)

(4.1.6)

Граничные и прочие условия для нахождения решения уравнения диффузии для элементарных геометрий:

1) Условие на выпуклой границе среды с вакуумом для конечных или

полубесконечных сред;

2) условия на границе раздела сред с различными физическими

свойствами;

3) условие в окрестности внешних локализованных источников;

4) условие ограниченности и неотрицательности нейтронного потока;

5) начальные условия в нестационарных задачах (где есть зависимость

от времени по переменной t)

1) Условие на выпуклой границе среды с вакуумом для конечных или

полубесконечных сред.

Диффузионное приближение плохо описывает распределение плотности потока нейтронов в окрестностях границы среды с вакуумом, так как на границе резко меняются свойства сред. Строгая формулировка граничных условий в этом случае возможно лишь при решении газокинетического уравнения Больцмана методами теории переноса. В рамках диффузионного приближения можно задать граничные условия, при которых решение уравнения диффузии не будет приводить к существенным отклонениям от действительности.

Выпуклой называют такую границу среды с вакуумом (рис. 1, а), пересечение которой нейтроном по всем направлениям не приводит к возврату нейтрона обратно в среду при условии, что он движется все время

прямолинейно.

Рис. 1. Выпуклая (а) и невыпуклая граница (б)

Это можно сформулировать так: нейтрон, вылетевший в вакуум обратно не возвращается (воздух для нейтронов также считается вакуумом).

В связи с этим, односторонний ток нейтронов из вакуума в среду равен нулю. Обозначая через r₀ вектор, определяющий положение пространственных точек выпуклой границы среды с вакуумом, можно записать в общем случае:

(4.1.7)

Это условие справедливо для «голого» реактора – реактора без отражателя.

С учетом длины линейной экстраполяции δ =2λ_tr/3 = 2/3Σ_tr эту функция можно записать в виде:

(4.1.8)

Из решения газокинетического уравнения Больцмана для сред слабо

поглощающих нейтроны следует, что δ = r_э–r₀=0,71λ_tr.

Убывающую функцию в случае скачкообразного изменения в какой-

либо точке можно экстраполировать к нулю непрерывным образом. В пограничном слое в силу утечки части нейтронов в вакуум (пустота и воздух не отражают нейтроны) уже на расстоянии, равном транспортной длине, происходит нарушение изотропии диффузии. Применять уравнение диффузии в малой приграничной области нельзя. Точный переход диффузионного потока в направленный поток за пределами тела (активной зоны – а.з.) дает только решение кинетического уравнения Больцмана. Поэтому распределение плотности потока нейтронов из тех внутренних областей, где справедлива теория диффузии, экстраполируется за пределы тела r₀ линейно.

Рассмотрим одномерный случай или случай сферической симметрии.

Зададим линейную (экстраполируем линейно) зависимость плотности потока нейтронов на границе среды с вакуумом в вакуум (рис. 2)

Ф(r) = Const₁r + Const₂ (4.1.9)

Точка, в которой происходит обращение экстраполированного потока в нуль, принимается за условную границу тела (а.з.) r_э, тогда

Ф(r_э) = Const₁r_э + Const₂ =0 (4.1.10)

Откуда r_э= -Const₂/Const₁ (4.1.11)

Из ф. (4.1.8), получаем

Откуда Const₂/ Const₁ = -( δ+ r₀).

Сучетом ф. (4.1.11) Const₂/Const₁ = -( δ+ r₀) = r_э

Окончательно имеем, что δ = r_э–r₀ (4.1.12)

Отсюда становится ясен смысл параметра δ . Это расстояние от реальной границы тела (среды), на котором происходит обращение экстраполированного потока нейтронов в нуль

Ф(r,t)=0 (4.1.13)

Ф. (4.13) называют условием для плотности потока нейтронов на экстраполированной границе среды с вакуумом.

Рис. 2. Экстраполированная граница:δ = r_э–r₀

2) Условия на границе раздела сред с различными физическими

свойствами.

Если рассматриваемая а.з. (тело) состоит из нескольких сред, то для простоты считают, что свойства сред не зависят от координат внутри этих сред, а изменяются лишь на их границах – макросечения реакций в данном случае являются кусочно-постоянными функциями координат, терпящими разрыв на границе сред r₀. Количество нейтронов, вылетающих в единицу времени из одной среды должно равняться количеству нейтронов, влетающих в единицу времени в другую среду, и наоборот (равенство односторонних токов). Условия сшивки решений имеют вид:

(4.1.14)

(4.1.15)

где D_i (i=1,2) – коэффициенты диффузии соответствующих сред.

По сути, ф. (4.1.14), ф. (4.1.15) – требования непрерывности плотности потока нейтронов и проекций на нормаль к границе раздела плотности тока нейтронов при переходе границы раздела сред.

3) Условие локализованных источников.

Пусть в не размножающей нейтроны среде в точке r₀ расположен точечный источник моноэнергетических нейтронов с постоянной во времени (стационарной) мощностью S. Нейтронное поле, создаваемое этим источником, также будет стационарным – не зависящим от времени.

Выделим в окрестности источника сферу радиуса R площадью поверхности S_R и объемом V_R. Если в уравнении диффузии вида (4.1.6) представить скорость утечки в единице объема в виде ф. (4.1.3) P( r)= divJΔVи применить теорему Остроградского–Гаусса ∫divJdV = ∫JdS (!) ,а затем перейти к пределу при R →0 , то получим

Тогда условие локализованного источника имеет вид

(4.1.16)

Это условие следует понимать как равенство числа испускаемых источником в единицу времени нейтронов числу нейтронов, утекающих сквозь поверхность элементарной сферы с источником в центре при ее радиусе, стремящемся к нулю.

4) Условие ограниченности и неотрицательности нейтронного потока.

Согласно физическому смыслу нейтронный поток не может быть бесконечно большим и отрицательным, т.е.

0 ≤Ф(r,t)< ∞ (4.1.17)

5) Начальные условия в нестационарных задачах.

Для решения нестационарного уравнения, необходимо знать распределение плотности потока нейтронов в момент времени t=0

f(r)=Ф( r,0) (4.1.18)

Решение уравнения диффузии в средах.