Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Пособие_Физика_часть2

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
04.06.2015
Размер:
723.65 Кб
Скачать

9. ЭНЕРГИЯ. КИНЕТИЧЕСКАЯ И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Кинетическая энергия (КЭ) системы – это энергия механического

движения этой системы. Сила F , действующая на покоящееся тело и вызывающая его движение, совершает работу; энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работаG dA силы на пути, который тело проходит от нулевой скорости до скорости v , идет на увеличение КЭ тела Т:

G G

=

mdv

→ →

v

mv2

. (1)

dA = dT = Fdr

dt

dr = m v dv = mvdv T = mvdv =

2

 

 

 

 

0

 

Кинетическая энергия Т является функцией состояния движения тела. Поскольку скорость v зависит от выбора СО, КЭ тела в различных инерциальных системах отсчета (ИСО) имеет разные значения,

определяемые согласно теореме Кёнига: КЭ системы материальных точек равна сумме КЭ всей массы системы, мысленно сосредоточенной в ее центре масс и движущейся вместе с ним, и КЭ той же системы в ее относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс.

Потенциальная энергия (ПЭ) – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил

взаимодействия между ними.

Телу присуща потенциальная энергия U, если оно находится в поле потенциальных (консервативных) сил. Работа консервативных сил на элементарном перемещении равна приращению энергии U, взятому со знаком «–», так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии (зная U=f(r), можно определить модуль и направление силы F):

dA = −dU = FdrG,

(2)

тогда U = −F d r + const , т.е. энергия U определяется с точностью до

некоторой произвольной постоянной, но это не влияет на физические законы, так как в них, обычно, входят или разность энергий, или их производные по координатам. Нулевой уровень ПЭ выбирается произвольно из соображений удобства, поэтому может быть как больше, так и меньше нуля. Согласно уравнению (2), для консервативных сил можно записать:

F = −

U ; F = − U

; F = − U

 

; F

= − gradU = − U , (3)

x

 

x

 

y

 

 

y

z

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

U

U

+

U

– градиент

скаляра

 

где gradU

x

i +

y

j

z

k

U, обозначается U

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(набла) и называется оператором Гамильтона или набла-оператором; i , j,k – единичные векторы координатных осей (орты).

Конкретный вид функции U=f(r) зависит от характера силового

поля. Так, тело, находящееся на высоте h<<RЗемли от поверхности земли в поле сил тяготения, обладает потенциальной энергией:

U = − Aконсерв

= RЗемли

+h Fdr = RЗемли

+h G mMЗемли dr =

тяготен

RЗемли

 

RЗемли

r2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

1

 

 

1

 

m GMЗемли2 h = mgh,

= − GmMЗемли

 

 

= U

(h + RЗемли)

 

 

 

RЗемли

 

RЗемли

где Атяготконсерв – работа консервативных сил тяготения (так находится работа

переменной силы!).

 

 

Энергия же сил тяготения отрицательна:

 

 

U (r) = −G Mm

+ const .

(4')

r

 

 

Подобно выражению (4) находится работа переменной силы тяжести при удалении ракеты на расстояние h от центра Земли, сравнимое по величине с RЗемли, с учетом того, что сила и перемещение противонаправлены.

Аналогично, при упругих деформациях, деформирующая сила по III

закону Ньютона равна по величине упругой силе kx. Элементарная работа

dA=kxdx, а полная работа A = xkxdx = kx2

ПЭ

упруго–

деформированного тела:

0

2

 

 

kx2

 

 

 

U =

.

 

(5)

2

 

 

 

 

 

Потенциальная энергия системы является функцией ее состояния. Она зависит только от взаимного расположения тел (конфигурации)

системы и от ее положения по отношению к внешним телам.

Полная энергия тела складывается из его кинетической и потенциальной энергий: E=T+U.

Рассмотрим систему материальных точек массами m1,…,mn, движущихся со скоростями v1,...,vn . Обозначим равнодействующие

внутренних консервативных сил F1,..., Fn , а внешних консервативных сил –

→ →

v<<c

F1/ ,..., Fn/ ; внешние неконсервативные силы обозначим

f1 ,..., fn . При

массы тел не меняются и уравнения II закона Ньютона имеют следующий вид:

 

 

 

 

 

dv1

 

 

m

= F + F / + f ,

 

 

1

dt

1

1

1

 

 

................................

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

.

dvn = F

+ F / + f

n

 

n

dt

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Двигаясь под действием сил, материальные точки за время dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

перемещаются на расстояние

dr1,..., drn .

 

Умножим

уравнения

(6) на

соответствующие перемещения (для i-го случая):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dv

 

 

→ →

 

m

 

/

=

(7)

i dr

(F + F

 

) dr

f

dr .

i

dt

i

i

i

 

i

 

 

 

i

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сложим уравнения (7) с учетом dri / dt = vi и (1), (2):

 

 

 

 

→ →

 

 

 

 

 

 

 

mi vi dvi

(Fi + Fi / ) dri

= fi dri

 

 

i

 

i

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

или закон изменения полной механической энергии

 

 

 

 

dT + dU = dAнеконс

.

 

 

 

(8)

 

 

 

 

12

 

 

 

 

Переход системы из состояния 1 в состояние 2 (8) – закон изменения

механической энергии.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если внешние неконсервативные силы отсутствуют, то

 

 

 

E=T+U=const.

 

 

 

 

 

(9)

Формула (9) – закон сохранения механической энергии: в системе тел,

на которые действуют только консервативные силы, полная механическая энергия сохраняется, то есть не изменяется со временем (нет ее диссипации, т.е. рассеяния).

При этом может возникнуть вопрос: "А как же быть с внешними консервативными силами?" Ответ: "Если внешние консервативные силы нескомпенсированы, то в систему включают тела, воздействующие этими силами, т.е. такие силы можно сделать «внутренними»".

Закон сохранения энергии является следствием фундаментального свойства времени – однородности. Однородность времени заключается в том, что физические законы инвариантны относительно выбора начала отсчета времени.

Анализ потенциальных кривых позволяет определить характер движения тела. Особый случай представляют консервативные и замкнутые системы, в которых

E=U+T=const.

U

 

E

 

T

 

 

α

U

h

 

Рис. 1

 

 

Например, на рис. 1 приведено графическое представление потенциальной энергии тела в поле сил тяготения, с учетом уравнения (4) тангенс угла наклона зависит от массы тела: tgα=mg.

Для ПЭ (рис. 2) сжатой пружины функция U(x) имеет вид параболы, В точках ± xm – ПЭ достигает максимума (КЭ Т=0). Система не может выйти за пределы ± xm; говорят, что она находится в потенциальной яме. В общем случае функция U(x) может иметь сложный график (см., например, рис.

3).

U E

 

 

x

 

 

 

-xm 0 +xm

 

Рис. 2

 

Частица, обладая энергией E, как показано на рисунке, может находиться только в областях II и IV. Перейти из области II в область IV частица не может: область III является потенциальным барьером, для преодоления которого частице надо сообщить дополнительную энергию (U1- E). В точке минимума производная dU/dx=0, т. е. в этой точке находится положение равновесия.

Коэффициентом полезного действия (КПД) называется отношение полезной (для какой-то практической цели) совершенной работы (энергии) ко всей работе, совершенной системой (к поступившей в систему энергии):

η =

Aполезн

=

Еполезн

.

(10)

Асоверш

 

 

 

Есоверш

 

U

U1

E

 

 

 

 

x

I

II

III

VI

 

Рис. 3

Контрольные вопросы

1.Дайте определение кинетической и потенциальной энергии.

2.Что есть полная механическая энергия тела?

3.Как выбирается уровень отсчета потенциальной энергии?

4.Сформулируйте теорему Кёнига.

5.Запишите формулу для кинетической энергии, формулы для потенциальной энергии тела в различных случаях.

6.Чему равно изменение потенциальной энергии тела в поле тяготения? Запишите формулой.

7.Сформулируйте и запишите математически закон сохранения полной механической энергии. Дайте определение консервативным (потенциальным) силам.

8.Чему равно изменение полной механической энергии тела в общем случае? Запишите это формулой.

9.Что дает анализ потенциальных кривых на графике?

10.Что такое потенциальная яма? Потенциальный барьер?

11.Какое условие выполняется для потенциальной энергии тела в положении равновесия?

12.Дайте определение с формулой коэффициенту полезного действия

(КПД).

10. УПРУГИЕ И НЕУПРУГИЕ СТОЛКНОВЕНИЯ. ТЕОРИЯ УДАРА

Удар абсолютно упругих и неупругих тел является ярким примером выполнения законов сохранения импульса и энергии. Под ударом

(столкновением) в физике понимают взаимодействие тел при их сближении, которое длится очень короткое время, и условии, что на достаточно большом расстоянии тела можно рассматривать как свободные.

В механике рассматривают удары, предполагающие контакт между телами (удары бильярдных шаров, метеорита о землю, попадание пули в тележку с песком). Ударные Fудар dp/dt= p/ t (или мгновенные ( t мкс))

силы взаимодействия между соударяющимися телами столь велики, что

внешними силами можно пренебречь и считать для таких систем законы сохранения импульса и энергии выполненными. Тела во время удара испытывают деформации (упругие или неупругие). КЭ тел во время удара

преобразуется в ПЭ упругого соударения, а затем частично или полностью вновь переходит в КЭ. Плоскость контакта называется плоскостью удара, а прямую, ей перпендикулярную и пересекающую ее в точке соприкосновения,

называют линией удара. Если линия удара параллельна скоростям сталкивающихся тел, удар называется прямым; если эта линия проходит через центры сталкивающихся тел, удар называют центральным. Скорость тел не достигает своего прежнего значения после удара.

Отношение нормальных составляющих скорости после и до удара называют коэффициентом восстановления (скорости): ε =vn/ vn . Если

ε=0 абсолютно неупругий удар (АНУ), ε=1 – абсолютно упругий удар

(АУУ). Для шаров из слоновой кости коэффициент ε=0,89, из стали – ε=0,56, а для свинцовых – ε=0,01, т.е. для реальных тел 0<ε<1.

Рассмотрим применение законов сохранения для прямого центрального удара двух шаров.

ν1 ν2

x

Рис. 1

Абсолютно упругий удар (АУУ). Пусть v1 и v2 – скорости тел до, а v'1

и v'2 – после удара (рис. 1). В случае, если скорость v2 направлена навстречу v1 , в формулах ниже учитывают, что проекция скорости v2 будет равна v2 и

все рассуждения остаются верными.

Для АУУ выполняются законы сохранения импульса (так как импульс – векторная величина, то записан в проекции на ось Ох) и

энергии:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1v1 + m2v2 = m1v1

+ m2v2 .

 

 

 

 

 

m1v12

+ m2v22

=

m1(v'1 )2

 

+

m2 (v'2 )2

,

 

(2)

 

 

 

 

 

откуда

 

2

2

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

v2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1(v1 v1) = m2 (v2

 

 

 

 

+ v2 .

(3)

 

(v12

(v'1 )2 ) = m2

((v'2 )2 v22 )

v1 + v1

= v2

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

Выражая

одну

 

 

 

 

 

 

из

 

скоростей

 

 

 

((1),

(3))

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

m1v1 + m2v2 m1v1

 

 

 

 

= v1 + v'1 v2

и

приравнивая

v2

 

 

m

 

 

= m v1

+ v2 m , v'2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

v1 + v2

 

 

m1

, группируют

 

 

 

 

 

 

 

 

 

их v1 + v1

v2 = m

m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 2v2

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1

1

+ m

 

+ v1 m

1 ,

 

 

 

 

 

 

 

откуда получают

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2v2 + v1

1

 

2m2v2 + v1(m1 m2 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v1 =

 

 

 

 

 

 

 

 

=

m + m

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+ m

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2m1v1 + v2 (m2 m1 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

.

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При

 

анализе

упругих

столкновений

 

удобно

 

один

из

шаров

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

представлять покоящимся (относительно шара m2 скорость v1/

= v1

v2 ).

 

 

 

 

Рассмотрим частный

 

случай:

АУУ

– прямой

центральный

(лобовой)

удар при ν2=0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

v1 (m1 m2 )

Тогда из формулы

 

 

 

 

и

 

 

 

 

(4) v1

 

 

 

 

 

 

2m1v1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m2 + m1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v2

=

 

 

 

получают:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) m1=m2, тогда v1

= 0,v2 = v1 (как бы «передача скорости»);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

>

 

 

> 0

(оба мяча

движутся

 

в

направлении

 

 

б) m1>m2, тогда v1

0,v2

 

скорости первого мяча до удара);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в) m1<m2, тогда v1

< 0,v2 > 0 (первый мяч отскочит от второго);

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(мячик отскочит от стены (см. рис. 2)),

 

 

г) m1<<m2, тогда v1 v1,v2 0

pстены m1v1 = m1 pстены = 2 pмяча).

ν1

ν1/

x

Рис. 2

 

Рассмотрим частный случай: АУУ – непрямой нецентральный удар при ν2=0 и m1<<m2 (мяч ударяется о стенку, см. рис. 3). Для определения импульса, переданного стене, воспользуемся результатами пункта г) решения предыдущего примера с учетом проекций импульса на ось Ох. В данном случае

рстены(Ox) = 2 рмяча(Ox) = 2m1v1 cosα .

Равенство углов падения и отражения в рассматриваемом случае следует из закона сохранения механической энергии при АУУ.

ν1

α

α x

ν1/

Рис. 3

В случае нецентрального удара частицы разлетаются под углом, причем угол, на который изменяется направление скорости налетающей частицы, называется углом рассеяния.

При m1=m2 угол рассеяния – прямой, при m1<m2 угол рассеяния любой (даже рассеяние назад), при m1>m2 тяжелая частица не может отклониться на

угол, превышающий ϕ = arcsin m2 . m1

 

Рассмотрим частный случай: АУУ – прямой нецентральный удар

при ν2=0 и m1=m2=m (шары в бильярде, см. рис. 3).

 

Из

формул

(1)

и

 

 

 

(2) имеем: v1 = v1 cos

β + v2 cosα и

v2

= (v)2

+ (v)2

(*),

из

треугольника

скоростей

(рис.

4) по теореме

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

косинусов:

 

= (v)2

+ (v)2

+ 2vvcos[180D (α + β )]

 

 

 

 

v2

 

 

 

 

 

1

2

,

 

 

 

1

1

2

(*)

откуда с учетом (*) 2v1v2 cos[180°-(α+β)]=0, cos[180°-(α+β)]=0 и

α+β=90°, т.е. при прямом нецентральном ударе бильярдные шары разлетятся

под прямым углом.

ν1

ν2/

 

α

x

 

β

ν1/

Рис. 4

Абсолютно неупругий удар (АНУ). В этом случае тела объединяются

идвигаются как одно целое. Потеря механической энергии при неупругом ударе происходит потому, что в этом случае помимо сил, пропорциональных деформациям, действуют силы, пропорциональные скорости – подобные силам сопротивления. При АНУ выполняется закон сохранения импульса

ирассеивается часть КЭ T:

Тогда

T =

m1v1 + m2v2 = (m1 + m2 )U ,

 

 

m v2

 

 

 

m

2

v2

 

(m + m

)U 2

 

 

 

1 1

 

 

+

 

 

2

 

=

 

1

 

2

 

+ T

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

U =

m1v1 + m2v

и

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m1 + m2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(U )

 

 

 

 

(m1 + m2 )U

2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

m1m2

 

 

m1v1

 

 

+

m2v2

 

=

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2(m1 + m2 )

. (5)

(v1 v2 )2 .

Рассмотрим частный случай АНУ: молот(ок) m1 забивает сваю (гвоздь) m2, т.е. ν2=0, тогда

U =

m1v1

 

 

 

m1m2

 

2

 

 

m2

 

T1 ,

 

 

и

T =

 

 

v1

=

 

 

m + m

 

 

 

2

2(m + m

)

(m + m

)

1

 

 

1

2

 

 

 

1

2

 

 

Чем больше величина m1 по сравнению с m2, тем меньше потери КЭ T и, следовательно, выше КПД – η.

Контрольные вопросы

1.Что такое удар (столкновение)? Что такое абсолютно упругий удар? Абсолютно неупругий удар? Просто упругий удар?

2.Что называется линией удара?

3.Какие законы сохранения выполняются в случае абсолютно упругого и абсолютно неупругого удара? Сформулируйте эти законы и запишите их для каждого из случаев.

4.Выведите формулы для скоростей тел после их абсолютно упругого соударения. Проведите анализ полученных формул в зависимости от соотношения масс соударяющихся тел?

5.Существуют ли в действительности замкнутые системы? Почему при любом ударе можно пренебречь действием всех внешних сил и считать систему замкнутой?

6.Что такое коэффициент восстановления скорости и энергии после удара?

7.Что происходит с импульсом и скоростью тела при его столкновении с чем-то очень тяжелым (стеной, скалой и т.п.)?

8.Почему угол падения тела равен углу отражения?

11. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ. ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА

Движение твердого тела (ТТ), при котором все точки прямой OO/, жестко связанной с телом, остаются неподвижными, называется вращением тела вокруг неподвижной оси вращения OO/.

При рассмотрении вращательного движения пользуются понятием момента инерции материальной точки и ТТ, являющимся наряду с массой

мерой инертности тела, но при непоступательном (вращательном) движении (физический смысл момента инерции). С точки зрения инерции важна не только масса, но и расстояние ее от оси вращения.

Моментом инерции материальной точки I относительно заданной оси называется физическая скалярная величина, равная произведению массы

m на квадрат ее расстояния r2 до оси:

I = mr 2 ;

(1)

для системы материальных точек:

 

 

I = mi ri

2 .

(2)

i