Приклади розв'язування задач

Приклад 1.

Функція цін попиту має вигляд . Визначити обернену функцію попиту і знайти її значення для .

Розв’язування:

Знайдемо залежність кількості проданої від ціни на одиницю товару:

Тому при значення дорівнюють 40,20,10 відповідно.

Сукупність товарів та послуг, запропонованих виробником на ринок, складає пропозицію (supply).

2. Функція пропозиції – залежність обсягу запропонованої продукції від ринкової ціни.

,

де - обсяг пропозиції товару за одиницю часу, - ціна товару .

0	В економіці графік залежності між кількістю запропонованих на ринок то-варів і ціною називають кривою про-позиції. Крива пропозиції показує обсяг товару, що пропонується при кожному значенні ціни, коли інші фактори, що впливають на пропозицію (зміна витрат на виробництво товарів, зміна розміру

податків, ціни на інші товари тощо), вважаються незмінними. Функція пропозиції є зростаючою (із збільшенням ціни збільшується кількість товару, що пропонується). Оберненою до цієї функції є функція цін пропозиції

.

Приклад 2.

Функція ціни пропозиції на деякий товар має вигляд . Знайти функцію пропозиції на цей товар. При якій ціні на одиницю товару обсяг запропонованої продукції становитиме 20 од.?

Розв’язування:

Функція пропозиції є оберненою до функції ціни пропозиції. Тому . Коли обсяг продукції становить 20 од., (грош. од.).

Взаємодію попиту і пропозиції в ринковій економіці можна проаналізувати за допомогою графіка:

0

Відобразимо криві попиту і пропозиції в одній системі координат, оскільки вони відносяться до певної групи товарів і вимірюються в однакових одиницях. Стан ринкової системи, при якому попит дорівнює пропозиції, називають рівновагою, а точку перетину кривих попиту і пропозиції – точкою рівноваги, відповідно їй ціну – рівноважною ціною.

При ціні запропонована і потрібна кількість товару одна і та ж дорівнює . Ціна показує, що в цьому випадку плани покупців і продавців співпали, їх економічне становище стабільне. Коли розмір попиту перевищує запропоновану кількість, виникає нестача товару, тобто дефіцит. Розмір дефіциту дорівнює . Протилежна ситуація виникає, коли зростає ціна і дорівнює . В цих умовах виробнику вигідно виготовляти і поставляти на ринок більшу кількість товару, але ціна, яка зросла, не всім покупцям досяжна. Складається ситуація, яку називають перевиробництвом товарів. При надлишку товарів розмір пропозиції товару за даною ціною перевищує розмір попиту. Величина надлишку дорівнює . Хоча попит і пропозиція не завжди зрівноважені на ринку, ціна має тенденції до рівноваги.

Приклад 3

Функція попиту населення на товар , функція пропозиції товару , де - обсяг попиту (млн. шт.), - обсяг пропозиції (млн. шт.), - ціна (грн.). Визначити, як вплине на ціну товару зменшення попиту на 20%.

Розв’язування:

Визначимо рівноважну ціну. Маємо: . При цій ціні (млн. шт.). Зменшення попиту на 20% означає, що потрібна кількість товару становить 80%=0,8 від попередньої для кожного значення ціни. Тому нова функція попиту матиме вигляд . Пропозиція не змінилась, отже . Знаходимо нову врівноважену ціну: . Тоді . Отже, склад попиту на 20% призводить до зменшення ціни на 0,1 грн. за одиницю товару.

3. Функція витрат – залежність між витратами виробництва деякої продукції і обсягом виробництва цієї продукції. Якщо - сумарні витрати виробництва, які треба здійснити для виготовлення товару, - обсяг продукції, то функція витрат має вигляд .

Залежно від впливу на витрати фірми зростання масштабів виробництва, розрізняють постійні та змінні витрати.

Постійні витрати FC (fixed cost) – це витрати, які підприємство повинно нести незалежно від обсягів виробленої продукції (повернення банківського кредиту, орендна плата, витрати на рекламу тощо).

0	Змінні витрати VC(Q)(variable cost) – це витрати, розмір яких залежить від обсягу продукції, що виробляється (наприклад, витрати на оплату робочої сили, сировини, палива, електроенергії та ін.). Сума постійних та змінних витрат складає загальні витрати TC(Q) (total cost):

.

0	Для більш чіткого визначення обсягу виробництва, при якому фірма страхує себе від надмірного зростання витрат, досліджують середні витрати (average cost) на виробництво одиниці продукції. Можна виділити середні загальні витрати , середні змінні витрати , середні постійні витрати .

Середні загальні витрати дозволяють визначити обсяг виробництва, при якому витрати на одиницю продукції будуть мінімальними (т. )

Приклад 4.

Залежність між витратами виробництва даного продукту і кількістю вироблених одиниць цього продукту має вигляд . Знайти: а) функції змінних та постійних витрат; б) загальні та середні витрати при випуску 200 одиниць продукції; в) ефект збільшення загальних витрат випуску 200 одиниць продукції при збільшенні середніх змінних витрат на 2%;

Розв’язування:

а) загальні витрати , тому функція змінних витрат , а постійні витрати ;

б) коли випуск продукції становить 200 од., загальні витрати дорівнюють Функція середніх загальних витрат має вигляд ,

тому ;

в) функція середніх змінних витрат має вигляд ,

тому . Якщо середні змінні витрати збільшити на 2 %, то одержимо .

Тоді і нові загальні витрати становитимуть . Отже, при збільшенні середніх змінних витрат на 2 %, загальні витрати зростуть на 6200 (грош. од.)

4. Функція доходу – залежність доходу підприємства від вартості виробленої продукції: , або де (revenue) – дохід, - ціна одиниці продукції, - кількість проданого товару.

0	Крива доходу показує в графічному вигляді величину доходу при кожному значенні ціни на товар. Загальний (валовий) дохід (total revenue) можна розрахувати за формулою , де - ціна, - кількість проданого товару.

Прибуток (profit) - величина, на яку валовий дохід підприємства перевищує його витрати :

Середній дохід - це дохід, який отримують від реалізації одиниці продукції в середньому: .

Приклад 5.

За даними спостереженнями було визначено, що функція попиту на деякий товар . Визначити функцію загального доходу і побудувати її графік. Яку ціну на товар потрібно встановити, щоб максимізувати загальний дохід?

Розв’язування:

270 0 3

Функція загального доходу матиме вигляд: . Графіком цієї залежності є парабола, вітки якої опущені вниз. Тому максимальний дохід відповідає вершині параболи, що знаходиться у точці (3,270) і становить 270 грн. при ціні 3 грн. за одиницю продукції.

Приклад 6.

Фірма реалізує продукцію на ринку за ціною 650 грн. за одиницю. Витрати матеріалів на одиницю товару становлять 150 грн., витрати праці – 200 грн. Для налагодження виробництва необхідний початковий капітал у 90000 грн.

1) Запишіть функції загального доходу, загальних витрат і прибуток.

2) Визначіть кількість продукції, яку потрібно випускати, щоб а) фірма почала отримувати прибуток; б) окупила початкові витрати.

Розв’язування:

1) Позначимо - кількість проданого товару, тоді функція загального доходу , функція загальних витрат - . Прибуток

.

2) Прибуток дорівнює нулю, коли . За цієї умови

. Отже, фірма почне отримувати прибуток, коли реалізація більше, ніж 300 виробів. Початкові витрати окупляться, коли , тобто

(од.)