3.5. Неперевність функції

Функцію називають неперервною в точці , якщо границі функції зліва і справа в точці рівні між собою і дорівнюють значенню функції в цій точці.

Точкою розриву першого роду функції називають таку точку , в якій функція має скінченні ліву і праву границю, не рівні між собою.

Якщо принаймні одна із односторонніх границь в точці не існує (або дорівнює безмежності), то таку точку називають точкою розриву другого роду.

Якщо односторонні границі в точці рівні між собою, а функція в цій точці не існує, то точку називають точкою усувного розриву.

Приклади розв'язування задач

Приклад 1.

Дослідити на неперервність функції, та побудувати схематичний графік.

Розв’язування.

а)

Точки підозрілі на розрив: Знайдемо в цих точках односторонні границі:

Отже, т точці функція терпить розрив першого роду.

Отже в точці функція неперервна:

6

3

2

3

0

2

б)

Точкою, підозрілою на розрив є точка .

Дослідимо цю точку:

Отже, точка э точкою розриву другого роду.

1

в)

Точкою, підозрілою на розрив э точка .

Дослідимо цю точку:

Отже, точка э точкою усувного (так як односторонні границі рівні між собою, а функція в цій точці не існує).

3.6. Застосування функції у задачах економіки

Застосування функцій в економічних дослідженнях дозволяє математично описати і пояснити багато економічних явищ. Спектр функцій, що використовуються в економічних задачах, досить широкий – поряд з лінійними функціями широке застосування знайшли дробово – лінійні, степеневі, показникові, логарифмічні та інші функції. Періодичність ряду економічних процесів дозволяє застосувати також і тригонометричні функції. Найчастіше в економіці використовують так звані виробничі функції.

Виробнича функція – це функція, яка визначає залежність результату виробництва від факторів, що на нього впливають. Найбільш поширеним серед виробничих функцій є функції попиту, пропозиції, витрат, доходу тощо.

Попит (demand) визначає сукупну суспільну чи ринкову потребу в товарах (послугах), яка зумовлена діючими цінами і платоспроможністю споживачів. Величина (обсяг) попиту виражається кількістю товару, яку споживачі можуть придбати за деякою ціною залежить, головним чином, від двох факторів – ціни на цей товар і загального доходу споживачів. Розглянемо частинний випадок, коли змінюються тільки ціни, а дохід залишається незмінним.

1. Функція попиту – залежність попиту на товар віл ціни на нього.

,

де - обсяг попиту на товар за одиницю часу, (price) – ціна товару .

Графік залежності попиту від ціни називають кривою попиту. Крива попиту показує обсяг попиту на товар при кожному значенні ціни, коли інші фактори, що впливають на обсяг попиту, вважаються незмінними. Функція попиту є спадною (при сталій купівельній спроможності населення із збільшенням ціни попит на товар зменшується).

Залежність ціни від попиту можна виразити оберненою функцією

,

яку називають функцією цін попиту. Якщо кількість проданого товару помножити на ціну за одиницю продукції, отримаємо сумарний виторг (загальний дохід) продавця: