Задачи для самостоятельной работы
51. Дискретная случайная величина задана рядом распределения:
|
1 |
3 |
6 |
8 |
|
0,2 |
0,1 |
0,4 |
0,3 |
Построить полигон распределения и найти .
52. Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1.
Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.
53. Абонент забыл последнюю цифру нужного ему телефонного номера, однако помнит, что она нечётная. Составить закон распределения числа наборов телефонного номера до попадания на нужный номер, если последнюю цифру он набирает наудачу. Найти математическое ожидание, дисперсию и СКО этой случайной величины.
54. В партии из 6 деталей имеются 4 стандартные. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди 3-х отобранных. Определить моду, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
55. В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб. Составить закон распределения размера выигрыша при 5 сделанных покупках. Найти моду, математическое ожидание, дисперсию и СКО этой случайной величины.
56. Контрольная работа состоит из 3 вопросов. На каждый вопрос приведено 4 ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Определить моду, математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
57.
Пусть
дискретные
случайные величины.
выручка фирмы,
её
затраты,
прибыль
фирмы. Найти распределение прибыли
,
если затраты и выручка независимы и
заданы распределениями:
,
.
58. Пусть выручка фирмы в долларах. Найти распределение выручки в рублях в пересчёте по курсу доллара , если выручка не зависит от курса , а распределения и имеют вид:
,
.
59. Случайные величины и независимы и имеют один и тот же закон распределения:
-
Значение
2
3
5
Вероятность
0,3
0,2
0,5
Составить закон
распределения случайных величин
и
.
Найти математическое ожидание и дисперсию
этих случайных величин. Убедиться, что
.
60. Два стрелка сделали по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, а для второго – 0,7. Требуется:
а) составить закон распределения общего числа попаданий;
б) найти моду, математическое ожидание, дисперсию и СКО этой случайной величины.
2.1.2. Функция распределения дискретной случайной величины
Функцией
распределения (вероятностей)
случайной величины
называется функция
,
определяющая вероятность того, что
случайная величина
в результате испытания примет значение,
строго меньшее
,
т. е.
.
(23)
Функцию называют интегральным законом распределения случайной величины.
Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная кусочно-постоянная функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений.
Рассмотрим основные свойства функции распределения дискретной случайной величины.
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку [0,1]:
.
2. Функция распределения есть неубывающая функция на всей числовой оси, т. е.
,
если
.
3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т. е.
,
.
4. Вероятность
попадания случайной величины в
полуинтервал [
)
равна приращению её функции распределения
на этом полуинтервале, т. е.
.
Следствие 1. Если
возможные значения случайной величины
принадлежат числовому отрезку [
],
то
при
и
при
.
Следствие 2. Для дискретной случайной величины функция распределения равна сумме вероятностей тех её значений, которые строго меньше , т. е.
.
Пример 28. Случайная величина задана рядом распределения:
.
Найти функцию распределения вероятностей и построить её график.
Решение.
Если
,
то
(следствие 1).
Если
,
то
.
Действительно,
имеется единственное возможное значение
случайной величины (
),
которое строго меньше 4, и вероятность
этого события
по условию равна 0,4.
Пусть
.
Тогда
.
Действительно,
если
удовлетворяет неравенству
,
то
по определению равно вероятности события
,
которое может произойти, когда
примет значение 1 (вероятность этого
события 0,4) или значение 4 (вероятность
его равна 0,1).
Но так как эти события несовместны, то по теореме сложения вероятностей:
0,5.
Если
,
то по аналогии
,
так как три значения случайной величины
(1,4,5) строго меньше её значения 7.
Наконец, если
,
то
(следствие 1).
В итоге функция распределения аналитически может быть записана в виде:
Построим её график, откладывая по оси абсцисс значения случайной величины, а по оси ординат – их вероятности (рис. 2).
Рис. 2
Пример 29. Из пяти гвоздик две белые. Составить закон распределения и найти функцию распределения случайной величины, выражающей число белых гвоздик среди двух одновременно взятых.
Решение. Пусть случайная величина число белых гвоздик среди двух одновременно взятых.
Она может принимать значения: 0,1,2.
Найдем вероятности
событий
с использованием классической формулы
вероятности.
Общее число исходов определяется числом сочетаний из пяти элементов по два, так, как порядок гвоздик не имеет значения, т. е
10.
Событию
благоприятствует
3
исхода.
Тогда
0,3.
Событию
благоприятствует
6
исходов.
Отсюда
0,6.
Наконец, число исходов, благоприятствующих
событию
,
равно
1
и
0,1.
Ряд распределений случайной величины имеет вид:
.
В результате функция распределения аналитически записывается:
Пример 30. Функция распределения случайной величины имеет вид:
Найти вероятность того, что:
а)
;
б)
.
Решение. а). С использованием свойства 4 функции распределения имеем
0,3.
б). События (
)
и (
)
являются противоположными. Тогда
.
Но вероятность
по определению равна значению функции
распределения в точке 1/3, т. е.
.
Отсюда
0,3.
Пример 31. В примере 26 найти функцию распределения для случайной величины .
Решение. В результате решения примера 26 был найден ряд распределения случайной величины :
.
Если , то по следствию 1: .
Когда
,
то
.
Пусть
.
Тогда в силу следствия
2 функция
распределения
возрастает на величину
:
.
Для
.
В полуинтервале
функция
.
Наконец при
имеем
.
В итоге случайная величина имеет следующую функцию распределения:
