Задачи для самостоятельной работы

21. Из двух колод игральных карт вынимается наудачу по карте. Определить вероятность того, что:

а) обе карты окажутся масти пик;

б) хотя бы одна из карт окажется масти пик.

22. Из двух перетасованных совместно колод игральных карт вынимается наудачу две карты. Определить вероятность того, что:

а) обе карты окажутся масти пик;

б) хотя бы одна из карт окажется масти пик.

23. У ребёнка имеется 3 красных кубика и 7 синих. Ребёнок наудачу взял один кубик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых кубиков - красный, а второй – синий.

24. Произведено три выстрела по цели из орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,76, при втором – 0,8, при третьем – 0,9. Определить вероятность того, что будет:

а) три попадания;

б) хотя бы одно попадание.

25. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлены 15 учебников, причём 5 из них в твёрдом переплёте. Библиотекарь наудачу берёт 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из них будет в твёрдом переплёте.

26. Для некоторой местности среднее число пасмурных дней в июле равно 6. Найти вероятность того, что первого и второго июля будет ясная погода.

27. Вероятности своевременного выполнения студентом контрольной работы по каждой из трех дисциплин равны соответственно 0,6; 0,5; 0,8. Найти вероятность своевременного выполнения контрольных работ студентом: а) по двум дисциплинам; б) хотя бы по двум дисциплинам.

28. Мастер обслуживает 4 станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что первый станок в течение смены потребует внимания мастера, равна 0,3, второй – 0,6, третий – 0,4 и четвертый – 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены хотя бы один станок не потребует внимания мастера.

29. Среди 15 лампочек 4 стандартных. Одновременно наудачу берутся 2 лампочки. Найти вероятность того, что хотя бы одна из них нестандартная.

30. Устройство содержит 2 независимо работающих элемента. Вероятности отказа элементов соответственно равны 0,05 и 0,08. Найти вероятность отказа устройства, если для этого достаточно, чтобы отказал хотя бы один элемент.

1.4. Формулы полной вероятности и Бейеса

Пусть событие может наступить при условии появления одного из несовместных событий , образующих полную группу. Такие события называют гипотезами. Априорные вероятности гипотез , а также условные вероятности события считаются известными.

Тогда верна формула

, (12)

называемая формулой полной вероятности.

Пусть в результате испытания событие все же происходит. Какова вероятность того, что вместе с ним произошло и событие ? На этот вопрос отвечает формула Бейеса

, , (13)

которая определяет апостериорную вероятность гипотезы .

Пример 17. На складе имеется 12 единиц товара, полученных от поставщика №1, 20 единиц - от поставщика №2 и 18 единиц - от поставщика №3. Вся продукция находится в одинаковых упаковках. Вероятность того, что единица товара, полученная от поставщика №1 отличного качества, равна 0,9; от поставщика №2 - 0,6; от поставщика №3 - 0,8. Найти вероятность того, что взятая наудачу единица товара окажется отличного качества.

Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что взятая наудачу единица товара окажется отличного качества. Возможны следующие предположения: - взятая единица товара получена от поставщика №1, - от поставщика №2, - от поставщика №3.

Так как всего на складе 50 единиц товара (12+20+18), то вероятность того, что взятая наудачу единица товара получена от поставщика №1, равна 12/50 , от поставщика №2 - 20/50, от поставщика №3 - 18/50.

Из постановки задачи известна вероятность того, что единица товара окажется отличного качества при условии, что она получена от поставщика №1: , от поставщика №2 - от поставщика №3 -

Искомую вероятность находим по формуле полной вероятности (12)

0,744.

Пример 18. Продукция, выпускаемая на предприятии партиями, попадает для проверки ее на стандартность к одному из двух контролеров. Вероятность того, что партия продукции попадет к первому контролеру, равна 0,6, а ко второму - 0,4. Вероятность того, что годная партия будет признана стандартной первым контролером, равна 0,94, а вторым - 0,98. Годная партия при проверке была признана стандартной. Найти вероятность того, что эту партию проверял первый контролер.

Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что годная партия продукции признана стандартной. Можно сделать два предположения:

• партию проверил первый контролер (гипотеза );

• партию проверил второй контролер (гипотеза ).

Искомую вероятность того, что партию проверил первый контролер, найдем по формуле Бейеса (13):

По условию задачи имеем:

- (вероятность того, что партия попадет к первому контролеру);

- (вероятность того, что партия попадет ко второму контролеру);

- (вероятность того, что годная партия будет признана первым контролером стандартной);

- (вероятность того, что годная партия будет признана вторым контролером стандартной).

Искомая вероятность

0,59.