Задачи для самостоятельной работы
41. Вероятность малому предприятию быть банкротом в течение года равна 0,2. Найти вероятность того, что из шести малых предприятий в течение года сохранятся два.
42. В среднем пятая часть поступающих в продажу автомобилей некомплектны. Найти вероятность того, что среди 10 автомобилей имеют некомплектность менее трёх.
43. Предполагается, что 10% открывающихся новых малых предприятий прекращают свою деятельность в течение года. Какова вероятность того, что из шести малых предприятий не более двух в течение года прекратят свою деятельность.
44. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеют уставной фонд свыше 100 млн руб. Найти вероятность того, что среди семи банков не менее трёх имеют уставной фонд свыше 100 млн руб.
45. В некоторой местности в среднем на каждые 100 выращенных арбузов приходится один весом не менее 10 кг. Найти вероятность того, что в партии арбузов из этой местности, содержащей 4000 арбузов будет:
а) ровно три арбуза весом не менее 10 кг;
б) не менее двух таких арбузов.
46. Вероятность выпуска сверла повышенной хрупкости (брак) равна 0,02. Сверла укладываются в коробку по 100 шт. Найти вероятность того, что в коробке:
а) не окажется брака;
б) число бракованных свёрел окажется не более трёх.
47. Рабочий
обслуживает 12 однотипных станков.
Вероятность того, что станок потребует
к себе внимания рабочего в течение
времени
равна 1/3. Найти вероятность того, что за
время
четыре станка потребуют внимания
рабочего.
48. Вероятность того, что деталь не пройдет проверку ОТК, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется от 70 до 100 деталей, которые не пройдут проверку ОТК.
49. При обследовании уставных фондов банков установлено, что пятая часть банков имеет уставной фонд свыше 100 млн руб. Найти вероятность того, что среди 1800 банков имеют уставной фонд свыше 100 млн руб.: а) не менее 300; б) от 300 до 400; в) наиболее вероятное число банков с уставным фондом свыше 100 млн. руб..
50. Вероятность того, что пассажир опоздает к отправлению поезда, равна 0,01. Найти наиболее вероятное число опоздавших из 800 пассажиров и вероятность такого числа опоздавших.
2. Случайные величины
2.1. Дискретные случайные величины
2.1.1. Ряд распределения. Числовые характеристики.
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно из своих возможных значений, заранее не известное и зависящее от случайных причин.
Случайная величина называется дискретной, если она принимает отдельные изолированные значения, которые можно пронумеровать.
Случайные величины
обозначают прописными буквами
и т. д., а их возможные значения – строчными
.
Например, если случайная величина
принимает три возможных значения, то
они обозначаются:
.
Наиболее полным, исчерпывающим описанием случайной величины является её закон распределения.
Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Если случайная величина принимает конечное число значений, то простейшей формой задания её закона распределения является таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.
-
Значения
…
…
Вероятности
…
…
Такая таблица
называется рядом
распределения дискретной
случайной величины, если
.
Иногда ряд распределения записывают в виде матрицы
или сокращенно
.
Ряд распределения можно изобразить графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности.
Соединение полученных точек образует ломаную, называемую полигоном распределения вероятностей (рис. 1).
Закон распределения дискретной случайной величины можно задать аналитически, т.е. в виде формулы. Например,
где
некоторая
вероятность.
…
Рис. 1
Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие значения приняла другая величина.
Пусть заданы две
случайные величины
и
своими рядами распределения:
.
Для случайных величин вводят следующие математические операции.
Произведением
случайной
величины
на постоянную величину
называется случайная величина, которая
принимает значения
и задаётся рядом распределения:
.
степенью
случайной
величины
,
т.е.
называется случайная величина, которая
принимает значения
с теми же вероятностями
:
.
Суммой (разностью
или
произведением)
случайных величин
и
называется случайная величина, которая
принимает всевозможные значения вида
(
или
),
где
,
с вероятностями
того, что случайная величина
примет значение
,
а
- значение
:
.
Если случайные величины и независимы, то по теореме умножения вероятностей:
.
(19)
Математическим
ожиданием
дискретной
случайной величины
называется сумма произведений всех её
значений на соответствующие им вероятности
.
(20)
Математическое ожидание характеризует среднее ожидаемое значение случайной величины .
Приведем основные свойства математического ожидания.
Математическое ожидание постоянной равно самой постоянной:
.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
.
3. Математическое ожидание алгебраической суммы конечного числа случайных величин равно такой же сумме их математических ожиданий:
.
Дисперсией
случайной величины
называется математическое ожидание
квадрата её отклонения от математического
ожидания
.
(21)
Дисперсия характеризует рассеивание, разброс случайной величины относительно своего математического ожидания.
Она обладает следующими основными свойствами.
Дисперсия постоянной величины равна нулю
.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:
.
3. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
.
4. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом её математического ожидания:
.
(22)
В качестве
характеристики рассеяния возможных
значений случайной величины
используют также среднее
квадратическое отклонение
(СКО)
,
которое в отличие от дисперсии
имеет размерность
.
Модой
случайной величины
называют наиболее вероятное её значение.
Пример 23. Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из 4-х посаженных кустов и найти моду этой случайной величины.
Решение. Пусть
число зараженных вирусом кустов из 4-х
посаженных. Это дискретная случайная
величина, которая может принимать
значения: 0,1,2,3,4. По условию задачи
вероятность поражения вирусом
0,2
есть величина постоянная, не зависящая
от числа посаженных кустов. Тогда имеем
схему независимых испытаний Бернулли,
и вероятность события
определяется по формуле Бернулли:
.
При 0 получаем
0,4096.
Пусть 1, тогда
0,4096.
Аналогично
0,1536,
0,0256;
0,0016.
В итоге построим по полученным значениям вероятностей ряд распределений числа кустов земляники, зараженных вирусом:
Таблица 1
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
0,4096 |
0,4096 |
0,1536 |
0,0256 |
0,0016 |
Заметим, что
0,4096+0,4096+0,1536+0,0256+0,0016=1.
Два значения
случайной величины 0 и 1 принимаются с
одинаковой наибольшей вероятностью
0,4096. Отсюда случайная величина
является бимодальной и
0
и
1.
Пример 24. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решённых задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Решение.
Пусть
число
правильно решенных задач в билете. Эта
случайная величина может принимать
значения: 0,1,2,3. Обозначим событие
правильно
решена
я
задача (
).
Найдем вероятности
.
Очевидно, что:
0,006,
0,092,
0,398,
0,504.
Тогда ряд распределения числа правильно решенных задач имеет вид:
Таблица 2
-
0
1
2
3
0,006
0,092
0,398
0,504
Математическое ожидание дискретной случайной величины определяется по формуле (20):
2,4.
Дисперсия случайной величины определяется по формуле (21):
0,46.
Пример 25. Даны законы распределения двух независимых случайных величин:
,
.
Найти вероятности,
с которыми случайные величины
и
принимают значение 3, а затем составить
закон распределения случайной величины
и проверить выполнение свойств:
;
.
Решение.
Для ряда распределения случайной
величины
должно выполняться равенство:
.
Отсюда
0,3.
Аналогично
0,6.
Найдем возможные
значения случайной величины
.
Пусть
0.
Тогда при
2
случайная величина
-4.
Если же
3,
то
-6.
В дальнейшем удобнее составить следующую таблицу.
Таблица 3
|
|
|
0 |
2 |
-4 |
3 |
-6 |
|
1 |
2 |
-1 |
3 |
-3 |
|
2 |
2 |
5 |
3 |
3 |
Если ранжировать значения по возрастанию, то эта дискретная случайная величина принимает значения: -6, -4, -3, -1, 3, 5.
Учитывая независимость и , найдём по формуле (19) соответствующие им вероятности.
0,12.
0,08.
0,3.
0,2.
0,18.
0,12.
В итоге случайная величина имеет следующий закон распределения:
.
Найдем по формуле (20) математическое ожидание :
-1.
Далее определяем по формуле (22) дисперсию этой случайной величины:
12,12.
Вычислим также математические ожидания случайных величин и
1,4;
2,6
и их дисперсии
1,24;
0,24.
Тогда по свойствам математического ожидания
-1,
что совпадает с
ранее найденным математическим ожиданием
-1.
Аналогично, воспользовавшись свойствами дисперсии, получим
12,12,
что совпадает с
ранее вычисленной дисперсией
12,12.
Пример 26. Дискретные случайные величины и независимы и имеют один и тот же закон распределения:
.
Составить закон распределения:
а) случайной
величины
;
б) случайной
величины
и убедиться, что
.
Решение.
а). Вторая степень случайной величины
по определению представляет случайную
величину со значениями
с прежними вероятностями
.
Отсюда закон распределения
имеет вид:
.
б). Найдем закон
распределения случайной величины
.
Для удобства нахождения произведения
составим
вспомогательную таблицу, в которой
будем придавать
и
различные возможные их значения и
вычислять
.
Таблица 4
-
1
1
1
2
2
4
4
2
1
2
2
4
4
8
4
1
4
2
8
4
16
Как видно из таблицы 4 имеются повторяющиеся значения . В итоге дискретная случайная величина принимает только следующие 5 значений: 1,2,4,8,16.
Найдем соответствующие вероятности.
Значение
встречается в таблице один раз. Поэтому
в силу независимости
и
имеем
0,04.
Значение
присутствует в таблице 2 раза.
Тогда вычисляем суммарную вероятность для этих двух одинаковых значений:
0,12.
Значение
встречается в таблице 3 раза.
Отсюда суммарная вероятность найдется как сумма вероятностей трёх событий:
0,29.
Аналогично определяем:
0,3;
0,25.
В итоге получаем закон распределения произведения :
.
Из полученных законов распределения дискретных случайных величин и видно, что они представляют различные случайные величины.
Пример 27. Дискретная случайная величина задана распределением:
.
Найти условную
вероятность события
при условии, что
.
Решение.
Введем в рассмотрение события:
и
.
Тогда по условию задачи требуется найти
условную вероятность
.
По теореме умножения вероятностей
,
откуда
.
Событию
благоприятствуют следующие значения
дискретной случайной величины
:
,
которые являются несовместными и поэтому
вероятность события
равна сумме вероятностей
0,5.
Аналогично событию
благоприятствуют значения
:
.
Тогда
0,4.
В итоге имеем
0,8.