Задачи для самостоятельной работы
Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова "студент"?
2. В сейфе установлен секретный замок, который содержит 6 дисков. Число букв на каждом диске равно 10. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим кода и подбирающим его наудачу?
3. В лотерее "Спортлото" требуется угадать 6 номеров из 49. Найти число человек, которые угадают 3 номера из 6.
4. В студенческий совет избрано 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя председателя и культорга. Сколько существует способов это сделать?
5. Расписание одного дня состоит из 4 уроков. Определить число вариантов расписания при выборе из 10 дисциплин, если уроки различные.
6. Порядок выступления 9 участников конкурса определяется жребием. Сколько различных вариантов жеребьевки при этом возможно?
7. Сколько существует пятизначных чисел, состоящих из цифр 3,4 и 5, в которых цифры 4 и 5 повторяется по 2 раза?
8. Сколькими способами можно сделать трёхцветный флаг с горизонтальными полосами одинаковой ширины, если имеется 6 различных цветов материи?
9. На школьном вечере присутствует 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары для танца?
10. Имеется 5 видов конвертов без марок и 4 вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для отправки письма?
Классическое определение вероятности
Пусть некоторое испытание заканчивается конечным числом равновозможных, несовместных и единственно возможных исходов. Такие исходы называются элементарными. Элементарный исход называется благоприятствующим случайному событию , если его появление влечёт за собой наступление события .
Вероятность события равна отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих ему, к общему числу исходов, т.е.
.
(7)
Пример 9. Набирая номер телефона, абонент забыл последние три цифры. Помня лишь, что они различны, набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры.
Решение.
В последних цифрах телефонного номера
могут использоваться 10 цифр от 0 до 9.
Так как по условию они различны и при
этом важен их порядок и состав, то число
возможных вариантов определяется числом
размещений без повторений из 10 элементов
по три, т.е.
.
Число
благоприятствующих вариантов равно
одному – единственному правильному
набору цифр. Отсюда по формуле (7)
0,00139.
Пример 10. В группе 13 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди них пять отличников.
Решение.
При отборе 9 студентов из 13 важен только
их состав, порядок не имеет значения.
Поэтому общее число
исходов определяется числом сочетаний
без повторений из 13 элементов по 9, т.е.
.
Аналогично пять
отличников из 8 можно отобрать
способами. При этом остальные 4 студента
не должны быть отличниками, т.е. они
отбираются из оставшихся пяти студентов
(13-8=5). Возможно
способов такого отбора. По правилу
произведения число благоприятствующих
случаев равно произведению
.
Тогда искомая вероятность равна
0,392.
Пример 11. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребёнок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал их в произвольном порядке. Найти вероятность того, что снова получилось слово «книга».
Решение.
Число слов, образованных из пяти различных
букв, равно числу перестановок без
повторений из 5 элементов, т.е.
.
Слово «книга» будет только одно. Отсюда
0,00833.