Задачи для самостоятельной работы
131. Дискретная случайная величина задана рядом распределения
|
3 |
6 |
8 |
10 |
|
0,2 |
0,1 |
0,3 |
0,4 |
Найти закон
распределения случайной величины
.
132. Дискретная случайная величина имеет ряд распределения
|
-2 |
2 |
1 |
3 |
|
0,1 |
0,4 |
0,2 |
0,3 |
Найти закон
распределения случайной величины
.
133. Дискретная случайная величина имеет закон распределения
|
|
|
|
|
0,2 |
0,7 |
0,1 |
Найти математическое
ожидание случайной величины
.
134. Задана дискретная случайная величина
|
1 |
4 |
9 |
|
0,2 |
0,5 |
0,3 |
Найти математическое
ожидание и дисперсию положительной
случайной величины
135. Имеются
две случайные величины
и
,
связанные линейным соотношением
.
Известны числовые характеристики:
.
Найти: а) математическое ожидание и дисперсию случайной величины ;
б) ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин и .
136. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины
Найти плотность распределения случайной величины .
137. Случайная величина распределена по закону
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
138. Задана плотность распределения случайной величины
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
139. Найти
плотность распределения линейной
функции
,
если аргумент
распределен нормально с параметрами
.
140. Непрерывная
случайная величина
распределена по показательному закону
с параметром
.
Найти математическое ожидание и дисперсию
случайной величины
.
5.2 Функция двух случайных аргументов
Если каждой паре
возможных значений случайных величин
и
по определенному правилу соответствует
одно возможное значение случайной
величины
,
то
называют функцией двух случайных
аргументов
,
и записывают
.
Для случайной
величины
функция распределения
вычисляется по формуле
,
(72)
где
область
на плоскости
,
для которой
.
Плотность
распределения
случайной величины
находится дифференцированием функции
распределения
,
т.е.
.
Для практики
большое значение имеет задача определения
закона распределения суммы двух случайных
величин, т.е. случайной величины
.
Если и дискретные независимые величины, то случайная величина также является дискретной и определение ее закона распределения описано в разделе 2.1.1 данного пособия.
В частности, если
представляет сумму двух независимых
случайных величин, обе распределенных
по закону Пуассона с параметрами
и
соответственно, то
также распределена по закону Пуассона
с параметром
.
Если
и
непрерывные
независимые величины
и заданы своими плотностями распределения
и
соответственно,
то плотность распределения
суммы
может быть найдена с помощью равенства
,
(73)
либо с помощью равносильного равенства
.
(74)
Формулы (72), (73) называют формулами композиции (свертки) двух распределений.
Если случайные
величины
,
то плотность распределения
находится по формуле
.
(75)
Композиция
нормальных законов распределения также
имеет нормальное распределение. Так,
если
и
независимые
нормально распределенные величины,
т.е.
~
,
~
,
то случайная величина
также нормально распределена:
~
.
В случае, если
случайные величины
и
зависимы (коэффициент корреляции
),
то случайная величина по- прежнему
нормально распределена с параметрами:
.
Характеристической функцией случайной величины называется функция
,
где
произвольный,
вещественный параметр,
мнимая единица,
символ
математического ожидания.
Для дискретной случайной величины характеристическая функция определяется по формуле
,
,
(76)
а для непрерывной сумма заменяется интегралом
,
(77)
где
плотность
распределения случайной величины
.
Плотность
распределения
можно выразить через характеристическую
функцию
.
Если случайные
величины
являются независимыми и
,
то характеристическая функция
равна произведению характеристических
функций
слагаемых
.
(78)
Пример 64. Система
(
)
задана совместной плотностью распределения:
внутри квадрата
и
вне квадрата. Найти функцию распределения
их отношения
.
Решение. Вначале
рассмотрим общий случай для произвольной
плотности
.
0
Рис. 6 |
А
0 В
Рис. 7 |
Зададим некоторое
значение
и построим на плоскости
область
,
в которой
(или
).
При фиксированном значении
уравнение
описывает прямую, а область
представляет заштрихованную часть
плоскости
(рис. 6).
Тогда по формуле (72) запишем
.
В нашем случае вне квадрата , поэтому область представляется той частью этого квадрата, которая находится ниже прямой (рис. 7). Величина площади зависит от значения .
Если
,
то
и
.
При
площадь под прямой
в квадрате равна нулю и
.
Итак, при
имеем
.
Пусть
.
Тогда область
представляет площадь треугольника 0АВ
(рис. 7, заштрихованная область). Для
определения
возьмем двойной интеграл по этой площади
.
0 D C
Рис. 8 |
A F B
E K z
0 D C
z
Рис. 9 |
Заметим, что при
значении
имеем
,
а при
функция
.
Пусть
.
В этом случае область
будет представлена площадью треугольника
0AD
и площадью прямоугольника ABCD
(рис. 8).
Отсюда
.
Таким образом, искомая функция распределения имеет вид:
Пример 65. Независимые случайные величины и имеют равномерные распределения:
Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины .
Решение.
По условию задачи случайные точки (
)
расположены в квадрате 0ABCD,
задаваемом неравенствами
(рис. 9). Зафиксируем значение
.
По определению функции распределения
.
Неравенству
удовлетворяют те точки плоскости
,
которые лежат ниже прямой
и находятся в квадрате 0ABCD
(рис. 9, заштрихованная область).
Поскольку
и
независимы, то
и по формуле (72) имеем
,
где
площадь той части квадрата 0ABCD,
которая лежит ниже прямой, задаваемой
уравнением
.
Величина
зависит от значения
.
Если
,
то
и
.
Пусть
,
тогда
представляет собой площадь треугольника
oED
и
(рис. 9). Отсюда
.
Если
,
то
представляет собой площадь фигуры
0AFKC,
которую проще найти, вычитая из площади
квадрата 0ABC
(она равна
)
площадь треугольника FBK.
Из рисунка видно, что площадь треугольника FBK находится
.
Тогда
.
Наконец, если
,
то
совпадает с площадью квадрата 0ABCD
и
.
Итак, искомая функция распределения имеет вид:
Дифференцируя , определяем плотность распределения :
-
Пример 66. Случайные величины и распределены по показательному закону с плотностями распределения:
Найти плотность распределения случайной величины .
Решение. Поскольку обе случайные величины могут принимать только положительные значения, то для определения плотности можно воспользоваться формулой (75)
.
Пример 67. Найти характеристическую функцию случайной величины , распределенной по биномиальному закону с параметрами и :
.
Решение. Представим как сумму независимых случайных величин
,
где случайная величина с рядом распределения
-
0
1
Характеристическая
функция случайной величины
вычисляется по формуле (76)
.
Так как характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций, то искомая функция имеет вид
.
Пример
68. Смешаны
две группы однотипных деталей, содержащих
и
деталей каждая. Число бракованных
деталей в каждой группе (соответственно
и
)
имеют биномиальное распределение:
.
Найти ряд распределения случайной величины .
Решение. Решим задачу с помощью характеристических функций. Для случайных величин и имеем (см. пример 67):
.
Поскольку случайные величины и независимы, то характеристическая функция их суммы равна произведению характеристических функций и
.
т.е. случайная величина также имеет биномиальное распределение
.