Задачи для самостоятельной работы

121. Средний расход воды в сутки в населенном пункте составляет 50 000 литров. Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды в сутки не превысит 150 000 литров.

122. Число солнечных дней в году в данной местности является случайной величиной с математическим ожиданием 75 дней. Оценить вероятность того, что в течение года в этой местности будет не более 200 солнечных дней.

123. Среднее потребление электроэнергии за май месяц населения одного из микрорайонов города равно 360 000 квт. час. Оценить вероятность того, что потребление электроэнергии в мае текущего года превзойдет 1 000 000 квт. час.

124. Математическое ожидание скорости ветра на данной высоте равно 25 км/час, а среднее квадратическое отклонение составляет 4,5 км/час. Какие скорости ветра можно ожидать на этой высоте с вероятностью, не меньшей 0,9?

125. Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оценить вероятность того, что сегодня в отделении банка будет обслужено: а) не более 200 клиентов; б) более 150 клиентов.

126. Среднее изменение курса акций компании в течение одних биржевых торгов составляет 0,3%. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более чем на 3%.

127. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70% числа заложенных яиц. Сколько нужно заложить яиц, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, ожидать, что отклонение числа вылупившихся цыплят от математического ожидания их не превышало по абсолютной величине 50? Решить задачу с помощью: а) неравенства Чебышева; б) теоремы Муавра-Лапласа.

128. Дисперсия каждой из 2500 независимых случайных величин не превосходит 5. Оценить вероятность того, что отклонение среднего арифметического этих случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий не превзойдет 0,04.

129. В целях контроля из партии в 100 ящиков взяли по одной детали из каждого ящика и измерили их длину. Требуется оценить вероятность того, что вычисленная по этим данным средняя длина детали отличается от средней длины детали по всей партии не более чем на 0,3 мм, если известно, что среднее квадратическое отклонение длины детали не превышает 0,8 мм.

130. Вероятность появления некоторого события в одном опыте равна 0,6. Какова вероятность того, что это событие появится в большинстве из 60 опытов?

5. Функция случайного аргумента

5.1 Функция одного случайного аргумента

Если каждому возможному значению случайной величины по определенному правилу соответствует одно возможное случайной величины , то называют функцией случайного аргумента и записывают .

Пусть - дискретная случайная величина и имеет закон распределения

, .

Если функция строго монотонна, тогда различным значениям переменной будут соответствовать различные значения , причем возможные значения будут находиться из равенства , где возможные значения . Отсюда - также дискретная случайная величина с законом распределения , .

Если немонотонная функция, то различным значениям могут соответствовать одинаковые значения . В этом случае для отыскания вероятности возможного значения следует сложить вероятности тех возможных значений , при которых принимает одно и то же значение .

Числовые характеристики дискретной случайной величины определяются по следующим формулам:

, (66)

. (67)

Пусть аргумент непрерывная случайная величина с плотностью распределения .

Если функция строго монотонна, непрерывна и дифференцируема в области возможных значений случайной величины , то она имеет обратную функцию . В этом случае плотность распределения вероятностей случайной величины определяется по формуле

. (68)

Если функция в области возможных значений случайной величины немонотонна, то обратная функция неоднозначна. В этом случае находят плотность распределения для каждого из интервалов монотонности и представляют в виде суммы на данных интервалах

. (69)

Для нахождения числовых характеристик непрерывной случайной величины достаточно знать закон распределения аргумента :

, (70)

. (71)

Пример 58. Дискретная случайная величина задана законом распределения

	1	3	5
	0,4	0,1	0,5

Табл. 8

Найти закон распределения случайной величины .

Решение. Функция является строго монотонной на всей числовой оси. Различным значениям будут соответствовать различные значения . Найдем их: . Отсюда ряд распределения случайной величины :

	3	9	15
	0,4	0,1	0,5

	-2	-1	1	2
	0,1	0,3	0,2	0,4

Пример 59. Дискретная случайная величина задана рядом распределения

Найти закон распределения случайной величины .

Решение. Функция не является монотонной на интервале изменения аргумента . Поэтому различным значениям могут соответствовать одинаковые значения . Например, для и получаются одинаковые значения : . Также для и имеем .

Отсюда, используя теорему сложения вероятностей, вычислим вероятности:

0,5,

0,5.

Тогда закон распределения имеет вид

	1	4
	0,5	0,5

Пример 60. Дискретная случайная величина задана законом распределения

Табл. 9

	0	1	2	3
	0,1	0,2	0,2	0,5

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение. Функция монотонна. Найдем возможные различные значения дискретной случайной величины :

.

По формулам (66), (67) находим искомые числовые характеристики :

5,2;

4,36.

Пример 61. Имеются две случайные величины и , связанные соотношением . Числовые характеристики случайной величины заданы: -1, 4. Найти:

1. Математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

2. Ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин и .

Решение. 1. Пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, найдем

5;

36.

2. Ковариацию и вычислим по формуле .

Значения и уже известны. Найдем :

.

Воспользуемся формулой для определения

5.

Отсюда -17. Тогда ковариация случайных величин и : -12.

Коэффициент корреляции случайных величин и найдем по формуле

-1,

что подтверждается исходной функциональной линейной зависимостью между величинами и .

Пример 62. Задана плотность распределения непрерывной случайной величины

Найти плотность распределения случайной величины .

Решение. Так как функция всюду дифференцируема и строго возрастает, то для нахождения плотности распределения применима формула (68), где функция, обратная к функции . Найдем . Разрешая уравнение относительно переменной , получаем . Таким образом = . Далее определим на интервале (1,3).

Вычислим производную и ее модуль .

Плотность распределения на интервале (1,3) определится по формуле (68)

.

Поскольку при изменении от 1 до 3 переменная варьируется от 3 до 9, то в итоге искомая плотность распределения запишется

Пример 63. Случайная величина распределена по закону

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

Решение. Вначале найдем параметр . Пользуясь свойством плотности распределения , находим

.

Таким образом, на интервале (1,2) плотность .

Вычисляем математическое ожидание по формуле (70) с учетом того, что вне интервала (1,2) плотность

.

Далее найдем второй начальный момент величины

.

В заключении определяем дисперсию по формуле (71)

.