Задачи для самостоятельной работы

101. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины ( ):

	26	30	41	50
2,3	0,05	0,12	0,08	0,04
2,7	0,09	0,30	0,11	0,21

Найти:

а) законы распределения одномерных дискретных случайных величин и ;

б) условный закон распределения при условии и условный закон распределения при условии .

102. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины ( ):

	8	10	12
4	0,17	0,13	0,25
5	0,10	0,30	0,05

Найти:

а) законы распределения одномерных дискретных случайных величин и ;

б) условный закон распределения при условии и условный закон распределения при условии .

103. Найти вероятность попадания случайной точки ( ) в прямоугольник, ограниченный прямыми , если известна совместная функция распределения

104. Задана совместная функция распределения двумерной случайной величины ( )

Найти совместную плотность вероятности .

105. Задана совместная плотность вероятности двумерной случайной величины ( )

.

Найти совместную функцию распределения .

106. Совместная плотность вероятности двумерной случайной величины ( ) имеет вид

Найти:

а) постоянную ;

б) плотности вероятности одномерных составляющих;

в) их условные плотности.

107. Даны плотности вероятности независимых составляющих двумерной случайной величины ( ):

Найти выражение совместной плотности и функции распределения двумерной случайной величины.

108. Непрерывная двумерная случайная величина ( ) распределена равномерно внутри прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами, длина которых 2 и 2 , параллельными координатным осям.

Найти:

а) совместную плотность вероятности;

б) плотности вероятности составляющих.

109. Двумерная случайная величина задана совместной плотностью вероятности:

Найти:

а) плотности распределения вероятности составляющих вектора ;

б) условные плотности распределения и .

110. Совместная плотность вероятности двумерной случайной величины ( ) имеет вид

.

Найти:

а) плотности распределения вероятности составляющих;

б) условные плотности распределения и .

3.2. Числовые характеристики

Числовые характеристики случайного вектора состоят из числовых характеристик составляющих вектора, условных числовых характеристик и характеристик связи составляющих.

Если дискретная двумерная случайная величина ( ) задана совместными вероятностями , то математические ожидания и дисперсии составляющих находятся по формулам:

, (41)

(42)

.

Если известны плотности вероятности составляющих двумерного непрерывного случайного вектора ( ), то можно найти их математические ожидание и дисперсии:

, (43)

(44)

.

Если задана совместная плотность вероятности , то следует использовать следующие формулы (двойные интегралы берутся по области возможных значений вектора):

(45)

, (46)

.

Важными характеристиками условных распределений вероятности являются условные числовые характеристики.

Условным математическим ожиданием дискретной случайной величины при называют произведение возможных значений на их условные вероятности, вычисляемые по формуле (37):

. (47)

Аналогично для случайной величины :

.

Условное математическое ожидание называют регрессией величины на .

Для непрерывных двумерных случайных величин символ суммы заменяется интегралом:

. (48)

Условной дисперсией дискретной случайной величины при называют произведение квадратов отклонений возможных значений случайной величины от их условных математических ожиданий на их условные вероятности, вычисляемые по формуле (37):

. (50)

Аналогичная формула для случайной величины :

.

Для непрерывных двумерных случайных величин формулы имеют вид:

, . (51)

Ковариацией (или корреляционным моментом) случайных величин и называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий

.

Ковариация характеризует как степень зависимости случайных величин и , так и их рассеяние около своих математических ожиданий и .

Формулы для вычисления ковариации имеют вид

, (52)

(53)

соответственно для двумерного дискретного и непрерывного случайного вектора.

Основные свойства ковариации:

1. .

2. .

3. .

4. Если и независимые случайные величины, то .

Коэффициентом корреляции двух случайных величин и называют отношение их ковариации к произведению средних квадратических отклонений этих величин

. (54)

Основные свойства коэффициента корреляции:

1. .

2. .

3. .

4. Если и независимые случайные величины, то .

Случайные величины называются некоррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю.

Из независимости случайных величин следует их некоррелированность. Обратное утверждение, вообще говоря, неверно: из некоррелированности случайных величин не следует их независимость.

Линейной средней квадратической регрессией на называют функцию вида

. (55)

Пример 49. Дискретная двумерная случайная величина ( , ) задана законом распределения

Табл. 6

	1	3	4	8
3	0,15	0,06	0,25	0,04
6	0,30	0,10	0,03	0,07

Найти:

1. Условное математическое ожидание составляющей при условии, что =1 (регрессию величины на при ).

2. Математическое ожидание .

3. Дисперсию .

4. Условную дисперсию составляющей при условии, что =1.

Решение. 1. Найдем вероятность того, что . Для этого сложим вероятности, помещенные в первом столбце исходной таблицы

0,15+0,30=0,45.

Определим условные распределения вероятностей величины при :

1/3,

2/3.

Вычисляем искомое условное математическое ожидание по формуле (47) (регрессию величины на при )

5.

2. Чтобы определить , найдем закон распределения (ряд распределения) случайной величины :

	3	6
	0,5	0,5

Отсюда вычисляем

4,5.

2. Дисперсию найдем по формуле, аналогичной формуле (42)

2,25.

2. Условную дисперсию составляющей при условии, что =1 вычислим по формуле, аналогичной формуле (50):

2.

Пример 50. Задана совместная плотность распределения непрерывной двумерной случайной величины ( , ): в квадрате , ; вне квадрата . Найти математическое ожидание и дисперсию составляющей .

Решение. Найдем вначале плотность распределения :

.

Определим математическое ожидание составляющей :

.

Для вычисления определенного интеграла используем формулу интегрирования по частям .

Возьмем следующие части подынтегрального выражения: .

Тогда .

Отсюда

.

Далее вычислим дисперсию по формуле .

.

Тогда

.

Пример 51. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины ( , ) задан следующей таблицей:

Т абл. 7

	-1	0	1	2
1	0,10	0,25	0,30	0,15
2	0,10	0,05	0,00	0,05

Требуется:

1. Определить ковариацию и коэффициент корреляции случайных величин и .

2. Найти уравнение линейной средней квадратической регрессии на .

Решение. 1. Ковариацию найдем, используя ее свойство 3:

.

На основе исходной таблицы определим законы распределения одномерных случайных величин и :

1 2 0,8 0,2

-1 0 1 2 0,2 0,3 0,3 0,2

Полученные законы распределения позволяют вычислить математические ожидания, дисперсии и средние квадратические отклонения случайных величин и :

1,2;

0,5;

1,6;

1,3;

0,16;

1,05;

0,4;

1,025.

Математическое ожидание произведения найдем по формуле

,

где суммирование производим по всем клеткам исходной таблицы:

0,5.

Далее вычисляем ковариацию

-0,1.

Коэффициент корреляции находим по формуле (54)

-0,244.

Значение -0,244 говорит о том, что между величинами и существует обратная заметная зависимость: при увеличении одной случайной величины другая имеет тенденцию уменьшаться и наоборот.

2. Уравнение линейной регрессии найдем по формуле (55)

-0,625x+1,2502.