3. Многомерные случайные величины

3.1. Законы распределения

Упорядоченный набор случайных величин называется многомерной случайной величиной или случайным вектором.

Случайные величины , являющиеся компонентами вектора , могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Если дискретные случайные величины принимают конечное множество значений, то закон распределения случайного вектора можно задать в виде таблицы (или матрицы), содержащей всевозможные сочетания значений каждой из компоненты вектора и соответствующие им вероятности.

Для двумерного случайного вектора ( ) такая таблица имеет вид:

		…		…
		…		…
		…		…
…	…	…	…	…	…	…
		…		…
…	…	…	…	…	…	…
		…		…
		…		…		1

Здесь , .

Так как события несовместны и образуют полную группу, то .

Итоговый столбец таблицы вместе с первым столбцом представляют распределение одномерной составляющей , т.е. ряд распределения ( ), а итоговая строка вместе с первой строкой – ряд распределения одномерной случайной величины .

Если зафиксировать значение одной из случайных величин, например, положить , то полученное распределение другой случайной величины называется условным распределением при условии .

Вероятности события , найденные в предположении, что событие произошло, называются условными вероятностями и вычисляются по формуле:

. (37)

Аналогично

.

Функцией распределения (совместной) случайного вектора называется функция переменных, выражающая вероятность совместного выполнения неравенств: , т.е.

.

Для функцию распределения записывают в виде

.

Она обладает следующими свойствами.

1. Функция распределения есть неотрицательная функция со значениями от 0 до 1:

.

2. Функция распределения есть неубывающая функция своих аргументов:

при ;

при .

3. Если хотя бы один из аргументов обращается в , то функция равна 0

.

4. Если хотя бы один из аргументов обращается в , то функция равна частной функции распределения другого аргумента:

,

где частные функции распределения случайных величин и соответственно.

5. Если оба аргумента равны , то функция равна 1

.

Справедлива формула:

. (38)

Двумерная случайная величина ( ) называется непрерывной, если ее функция распределения является непрерывной, дифференцируемой функцией по каждому аргументу и существует вторая ее смешанная производная .

Плотностью вероятности (совместной плотностью) непрерывной двумерной случайной величины ( ) называется вторая смешанная производная ее функции распределения, т.е.

.

Основными свойствами плотности вероятности являются:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. , .

6. , .

Условной плотностью вероятностей одной из одномерных составляющих случайного вектора ( ) называют ее плотность вероятности, вычисленную при условии, что другая составляющая приняла определенной значение.

Для условных плотностей вероятности верны следующие формулы:

, (39)

где плотности вероятности одномерных случайных величин и соответственно.

Случайные величины и называются независимыми, если их совместная функция распределения представляется в виде произведения частных функций распределения этих случайных величин, т.е.

. (40)

Если равенство (40) не выполняется, то и называются зависимыми.

Для независимых случайных величин и справедливо также равенство

.

Пример 44. Закон распределения дискретной двумерной случайной величины задан следующей таблицей:

Табл. 5

	-1	0	1	2
1	0,10	0,25	0,30	0,15
2	0,10	0,05	0,00	0,05

Найти:

1) законы распределения одномерных случайных величин и ;

2) условный закон распределения при условии и условный закон распределения при условии ;

3) вероятность события .

Решение. 1. Случайная величина принимает значение с вероятностью (суммируем элементы первой строки таблицы):

0,10+0,25+0,30+0,15=0,8.

Второе значение она принимает с вероятностью

0,10+0,05+0,00+0,05=0,2.

Отсюда ряд распределения случайной величины :

	1	2
	0,8	0,2

Аналогично, суммируя элементы столбцов таблицы, получаем закон распределения одномерной случайной величины :

	-1	0	1	2
	0,2	0,3	0,3	0,2

2. Условные вероятности события , найденные в предположении, что событие произошло, вычисляются по формуле (37), т.е. вероятности , стоящие в последнем столбце исходной таблицы (для ) делим на сумму столбца :

0,75,

0,25.

В итоге условный закон распределения задается таблицей:

	1	2
	0,75	0,25

Аналогично, производя деление вероятностей , стоящие в первой строке исходной таблицы, на сумму этой строки , получим:

0,125;

0,3125;

0,3754

0,1875.

Отсюда искомый условный закон распределения имеет вид:

	-1	0	1	2
	0,125	0,3125	0,375	0,1875

3. Для нахождения вероятности события зафиксируем вначале . Тогда имеется два значения , которые строго меньше 1: и . Суммируем соответствующие вероятности 0,35.

Аналогично, для имеем три значения , которые строго меньше 2: , и . После суммирования 0,15 определяем:

0,35+0,15=0,5.

Пример 45. Задана совместная функция распределения двумерной случайной величины ( ):

Найти вероятность попадания случайной точки ( ) в прямоугольник, ограниченный прямыми: .

Решение. Воспользуемся формулой (38), положив

:

0,26.

Пример 46. Задана совместная плотность распределения вероятности двумерной случайной величины ( ):

Найти совместную функцию распределения этой случайной величины.

Решение. Воспользуемся свойством 3 плотности вероятности . Поскольку при и =0, то нижние пределы двойного интеграла заменяем на нули:

.

В итоге:

Пример 47. Задана совместная функция распределения двумерной случайной величины ( )

Найти совместную плотность вероятности .

Решение. Воспользуемся формулой

.

Найдем частные производные:

,

.

Отсюда искомая плотность вероятности

Пример 48. Двумерная случайная величина ( ) задана совместной плотностью распределения:

Найти:

1. Плотности распределения вероятности составляющих вектора .

2. Условные плотности распределения .

Решение. 1. Построим вначале область значений двумерной случайной величины ( ). Поскольку уравнение является каноническим уравнением эллипса с большой полуосью и малой полуосью , то область значений представляет собой площадь эллипса (рис. 5)

2 -3 3 -2 Рис. 5

Из уравнения эллипса находим интервал изменения переменной : . Плотность вероятности составляющей определяется на основе свойства 6 совместной плотности распределения . Заменяя бесконечные пределы интегрирования для переменной на найденные, получим:

.

Аналогично, находя пределы изменения переменной

,

определяем плотность вероятности составляющей :

.

Отсюда искомые плотности вероятности:

2. Условные плотности распределения вероятностей находятся по формулам (39).

Подставляя в первую формулу полученное выражение для , получим

.

Так как при , то при или при . Тогда для .

Отсюда окончательно искомая плотность вероятности:

Рассуждая аналогично, можно найти

.

Поскольку при плотность , то она равна нулю при .

Тогда получаем выражение для условной плотности вероятности: