15 (Дней).
Пример 43. Нормально распределенная случайная величина задана плотностью распределения
.
Найти математическое ожидание, дисперсию случайной величины , а также вероятность того, что она примет значение, заключенное в интервале (1;3).
Решение. Сравнивая формулу (34) с записью плотности распределения данной случайной величины, видим, что математическое ожидание равно 2, а дисперсия = 25.
Для определения
вероятности
воспользуемся формулой (35)
.
Из приложения 2
находим
значение функции Лапласа
0,0793
и далее искомую вероятность
0,1586.
Пример
44. Производится
измерение веса пакета с чипсами без
систематических ошибок. Случайные
ошибки измерения
подчинены нормальному закону со средним
квадратическим отклонением
10
г. Найти вероятность того, что измерение
будет произведено с ошибкой, не
превосходящей по абсолютной величине
15 г.
Решение.
Поскольку
измерение производится без систематических
ошибок, то математическое ожидание
случайной величины
равно нулю, т.е.
.
Поэтому формула (36) примет вид
.
Положив
15,
10,
находим по последней формуле
.
По приложению 2
определяем
значение функции Лапласа
0,4332.
Отсюда
0,8664.
Задачи для самостоятельной работы
91. Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньше 0 ,04; б) больше 0,05. Определить математическое ожидание и дисперсию ошибки округления.
92. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения составляет 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.
93. Минутная стрелка электрических часов перемещается скачком в конце каждой минуты. Найти вероятность того, что в данное мгновение часы покажут время, которое отличается от истинного не более чем на 20 сек.
94. Случайные величины и независимы и распределены равномерно: в интервале (2;4), в интервале (3;7). Найти математическое ожидание произведения .
95. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) выражение его плотности вероятности и функции распределения; б) вероятность того, что в течение 100 ч прибор не выйдет из строя.
96. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонения показательного распределения
для
0.
97. Производится взвешивание некоторого вещества без систематических ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону с 20 г. Найти вероятность того, что взвешивание будет произведено с ошибкой, не превышающей по абсолютной величине 10 г.
98. Коробки с конфетами упаковываются автоматически со средней массой в 540 г. Известно, что масса коробок с конфетами имеет нормальное распределения, а 5% коробок имеют массу, меньшую 500 г. Каков процент коробок, масса которых: а) менее 470 г; б) более 550 г; в) от 500 до 550 г; г) отличается от средней по абсолютной величине не более чем на 30 г.
99. Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием 10. Вероятность попадания в интервал (10;20) равна 0,3. Чему равна вероятность попадания в интервал (0;10)?
100. Станок-автомат расфасовывает пакеты с порошком, причем контролирует их вес . Считая, что нормально распределенная случайная величина с математическим ожиданием 200 г и средним квадратическим отклонением 5 г, найти интервал, в котором с вероятностью 0,9973 будет заключен вес пакетов с порошком.