3. Уравнение Шредингера. Смысл - функции
В 1926 г. Э. Шредингер, исходя из оптико–механической аналогии, записал основное уравнение нерелятивистской квантовой механики для пси – функции, которое для стационарных состояний микрочастиц принимает выражение:
,
(5 – 4)
где
- оператор Лапласа для
- функции,
-полная
энергия микрочастицы,
– масса частицы,
– потенциал силового поля, взятый с
обратным знаком.
Пси–функция зависит от координат и времени, описывает состояние системы, позволяет находить среднее значение характеризующих систему физических величин и квадрат ее модуля определяет вероятность обнаружения микрочастиц в объеме:
,
(5 – 5)
где
–
коэффициент пропорциональности.
Следовательно, квантовая механика дает не динамический ответ (однозначный), а статистический (вероятностный). Уравнение Шредингера дает выражение - функции. Сама - функция должна быть однозначной, непрерывной и конечной (стандартные условия - функции).
Применим уравнение Шредингера для описания состояния микрочастицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме (рис.32).
Пусть
потенциальная энергия внутри ямы равна
нулю (отсутствие гравитации) при
и бесконечно большая вне ямы (
и
).
Так как «яма» одномерна, то оператор
Лапласа для
- функции запишется:
.
(5 – 6)
Из-за
высоких потенциальных стенок ямы
микрочастица за пределами ямы находиться
не может, следовательно,
- функция равна нулю при
и
,
а так же (по условию ее непрерывности)
при
и
,
т.е.
.
(5 – 7)
Внутри
ямы, где
не равна нулю, уравнение Шредингера
запишется:
. (5
– 8)
Дифференциальное уравнение (5 – 8) приведем к стандартному виду, если обозначить
(5
– 9)
Решением дифференциального уравнения (5 – 3) будет гармонический закон, т.е. волновая - функция будет изменяться по синусоидальному закону:
(5 – 10).
Из
условия
,
получаем
≡0.
Из условия
;
,
получаем
,
(5 – 11)
где =1; 2; 3; … .
Выразив
из (5 – 11)
и подставив в (5 – 9), получим квантовое
распределение энергии по уровням:
(5
– 12).
Подставив
в (5 – 10), получим уравнение
- функции для различных уровней энергии
внутри ямы:
. (5 -
13)
Графики
показаны на (рис.33) для трех уровней.
С
учетом того, что вероятность нахождения
частицы пропорциональна
,
приходим к следующим выводам:
1)
на уровне
вероятнее всего обнаружить микрочастицу
около центра ямы;
2)
на уровне энергии
вероятнее
всего обнаружить частицу вблизи координат
и
и
т.д.
Полученные результаты свидетельствуют о том, что поведение микрочастиц в ограниченном объеме резко отличается от поведения классических молекул идеального газа. Например, в закрытом пространстве космического корабля в состоянии невесомости молекулы по классике распределяются равновероятно во всем объеме корабля.