Задание лп-6

Решить транспортную задачу методом потенциалов. Первоначальный план составить методами северо-западного угла и наименьших затрат:

bj ai	40	60	50	50
50	6	3	4	4
60	3	4	5	3
90	4	4	6	5
30	3	5	3	6

Решение. Алгоритм метода потенциалов  следующий:

1) Построить первоначальный опорный план.

2) Проверить план на оптимальность. Для этого:

2.1) Вычислить потенциалы u_i (i=1, 2, …, m) и v_j (j=1, 2, …, n).

2.2) Проверить условие оптимальности u_i+v_j=c_ij (i=1, 2, …, m, j=1, 2, …, n). Если критерий оптимальности не выполнен, то перейти к пункту 3). В противном случае задача решена. Перейти к пункту 5).

3) Перейти к очередному опорному плану. Для этого:

3.1) Найти оценки _ij=u_i+v_jc_ij для клеток (i, j) u_i+v_j>c_ij.

3.2) Выбрать клетку с максимальным _ij>0.

3.3) Из выбранной клетки построить помеченный цикл.

3.4) Осуществить сдвиг по циклу.

4) Перейти к пункту 2).

5) Вычислить стоимость перевозок.

Алгоритм применяется, вообще говоря, к задаче закрытого типа. Если задача является задачей закрытого типа, то её необходимо привести к задаче закрытого типа.

Имеем =50+60+90+30=230 и =40+60+50+50=200, то есть  . При этом > , то есть у поставщиков имеется излишки груза, и задача является задачей открытого типа. Сведём её к задаче закрытого типа, вводя фиктивного потребителя с b₅=  =30 единицами груза и нулевыми стоимостями перевозок:

bj ai	40	60	50	50	30
50	6	3	4	4	0
60	3	4	5	3	0
90	4	4	6	5	0
30	3	5	3	6	0

А) Решим задачу, составив первоначальный опорный план методом северо-западного угла. Итак, реализуем алгоритм:

1) Построим первоначальный опорный план.

У первого поставщика имеется 50 единиц груза, а первому потребителю нужно 40 единиц. Поэтому можем спланировать перевозку 40 единиц груза от первого поставщика к первому потребителю: вписываем в клетку (1, 1) 40 и как бы вычёркиваем первого потребителя  он «получил своё» и в дальнейшем распределении груза не участвует: ставим знак «» над первым столбцом:

bj ai	 40	60	50	50	30
50	6 40	3	4	4	0
60	3	4	5	3	0
90	4	4	6	5	0
30	3	5	3	6	0

У первого поставщика осталось 10 единиц груза, а второму потребителю всего нужно 60. Поэтому вписываем эти 10 единиц в клетку (1, 2), вычеркнув первую строку (у первого поставщика все 50 единиц груза использованы, и он выбывает из дальнейшего распределения поставок):

bj ai	 40	60	50	50	30
 50	6 40	3 10	4	4	0
60	3	4	5	3	0
90	4	4	6	5	0
30	3	5	3	6	0

Второму потребителю требуется ещё 50 единиц, которые мы «заберём» у второго поставщика (у него их имеется 60 единиц): вписываем 50 в клетку (2, 2) и вычеркнем второй столбец:

bj ai	 40	 60	50	50	30
 50	6 40	3 10	4	4	0
60	3	4 50	5	3	0
90	4	4	6	5	0
30	3	5	3	6	0

У второго поставщика осталось ещё 10 единиц груза, а третьему потребителю требуется 50 единиц. Вписав эти 10 единиц в клетку (2, 3) вычёркиваем второго поставщика:

bj ai	 40	 60	50	50	30
 50	6 40	3 10	4	4	0
 60	3	4 50	5 10	3	0
90	4	4	6	5	0
30	3	5	3	6	0

Аналогично рассуждая, заполняем клетки (3, 3) и (3, 4) соответственно 40 и 50 единицами грузов. При этом при заполнении клетки (3, 3) выбывает только один участник  третий потребитель (соответственно, его вычёркиваем), а при заполнении клетки (3, 4) фактически выбывают сразу два участника  третий поставщик и четвёртый потребитель, но вычеркивать должны только одного участника, скажем, третьего поставщика. Вычёркивание на одном шаге только одного участника обеспечивает участие второго в следующем шаге заполнения таблицы, и в результате будет заполнено в точности m+n1 клеток:

bj ai	 40	 60	 50	50	30
 50	6 40	3 10	4	4	0
 60	3	4 50	5 10	3	0
 90	4	4	6 40	5 50	0
30	3	5	3	6	0

Так как четвёртый потребитель ещё не вычеркнут, то вписываем 0 в клетку (4, 4) и вычёркиваем четвёртого потребителя:

bj ai	 40	 60	 50	 50	30
 50	6 40	3 10	4	4	0
 60	3	4 50	5 10	3	0
 90	4	4	6 40	5 50	0
30	3	5	3	6 0	0

Наконец, на последнем, 4+51=8-м шаге, вписываем 30 в клетку (4, 5) и вычёркиваем обоих участников  четвёртого поставщика и пятого потребителя, и получили первоначальный опорный план задачи:

bj ai	 40	 60	 50	 50	 30
 50	6 40	3 10	4	4	0
 60	3	4 50	5 10	3	0
 90	4	4	6 40	5 50	0
 30	3	5	3	6 0	0 30

2¹) Проверим план на оптимальность. Для этого

2.1¹) Найдём потенциалы:

bj ai	40	60	50	50	30
50	6 40	3 10	4	4	0	0
60	3	4 50	5 10	3	0	1
90	4	4	6 40	5 50	0	2
30	3	5	3	6 0	0 30	3
	6	3	4	3	3

Присваиваем u₁=0 и по заполненным клеткам (1, 1) и (1, 2) первой строки определяем v₁=c₁₁u₁=60=6 и v₂=c₁₂u₁=30=3. По заполненной клетке (2, 2) второго столбца определяем u₂=c₂₂v₂=43=1. Далее, по заполненной клетке (2, 3) второй строки определяем v₃=c₂₃u₂=51=4. Теперь по заполненной клетке (3, 3) третьей строки определяем u₃=c₃₃v₃=64=2, а по заполненной клетке (3, 4) третьей строки определяем v₄=c₃₄u₃=52=3. Наконец, по заполненным клеткам (4, 4) и (4, 5) четвёртой строки определяем сначала u₄=c₄₄v₄=63=3, а затем v₅=c₄₅u₄=03=3.

2.2¹) Проверяем условие оптимальности для пустых клеток:

u₁+v₃=0+44=c₁₃, u₁+v₄=0+34=c₁₃, u₁+v₅=03<0=c₁₅,

u₂+v₁=1+6>3=c₂₁, u₂+v₄=1+3>3=c₂₄, u₂+v₅=13<0=c₂₅,

u₃+v₁=2+6>4=c₃₁, u₃+v₂=2+3>4=c₂₂, u₃+v₅=23<0=c₃₅,

u₄+v₁=3+6>3=c₄₁, u₄+v₂=3+3>5=c₄₂, u₄+v₃=3+4>3=c₄₃,

и условие оптимальности нарушается в клетках (2, 1), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2) и (4, 3): u₂+v₁>c₂₁, u₂+v₄>c₂₄, u₃+v₁>c₃₁, u₃+v₂>c₂₂, u₄+v₁>c₄₁, u₄+v₂>c₄₂, u₄+v₃>c₄₃.

3.1¹) Вычисляем оценки клеток, в которых нарушается условие оптимальности:

₂₁=u₂+v₁c₂₁=1+63=4, ₂₄=u₂+v₄c₂₄=3+13=1,

₃₁=u₃+v₁c₃₁=2+64=4, ₃₂=u₃+v₂c₃₂=2+34=1,

₄₁=u₄+v₁c₄₁=3+63=6, ₄₂=u₄+v₂c₄₂=3+35=1,

₄₃=u₄+v₃c₄₃=3+43=4.

Для удобства работы вписываем эти оценки в квадратных скобках в нижних правых углах клеток:

bj ai	40	60	50	50	30
50	6 40	3 10	4	4	0	0
60	3 [4]	4 50	5 10	3 [1]	0	1
90	4 [4]	4 [1]	6 40	5 50	0	2
30	3 [6]	5 [1]	3 [4]	6 0	0 30	3
	6	3	4	3	3

3.2¹) Выбираем клетку с максимальным _ij>0  клетка (4, 1): ₄₁=6.

3.3¹) Строим помеченный цикл из выбранной клетки (4, 1):

bj ai	40	60	50	50	30
50	6 40 	3 10 +	4	4	0	0
60	3 [4]	4 50 	5 10 +	3 [1]	0	1
90	4 [4]	4 [1]	6 40 	5 50 +	0	2
30	3 + [6]	5 [1]	3 [4]	6 0 	0 30	3
	6	3	4	3	3

3.4¹) «Перемещаем» по циклу 0 единиц груза (минимальное содержание клеток со знаком «»). Получили очередной опорный план (фактически тот же, что и предыдущий, но с другой системой заполненных клеток):

bj ai	40	60	50	50	30
50	6 40	3 10	4	4	0
60	3	4 50	5 10	3	0
90	4	4	6 40	5 50	0
30	3 0	5	3	6	0 30

2²) Проверим план на оптимальность. Для этого

2.1²) Найдём потенциалы. Присваиваем u₁=0 и по заполненным клеткам (1, 1) и (1, 2) первой строки определяем v₁=c₁₁u₁=60=6 и v₂=c₁₂u₁=30=3. По заполненной клетке (2, 2) второго столбца определяем u₂=c₂₂v₂=43=1. Далее, по заполненной клетке (2, 3) второй строки определяем v₃=c₂₃u₂=51=4. Теперь по заполненной клетке (3, 3) третьей строки определяем u₃=c₃₃v₃=64=2, а по заполненной клетке (3, 4) третьей строки определяем v₄=c₃₄u₃=52=3. Наконец, по заполненным клеткам (4, 1) и (4, 5) четвёртой строки определяем сначала u₄=c₄₁v₄=36=3, а затем v₅=c₄₅u₄=0(3)=3:

bj ai	40	60	50	50	30
50	6 40	3 10	4	4	0	0
60	3	4 50	5 10	3	0	1
90	4	4	6 40	5 50	0	2
30	3 0	5	3	6	0 30	3
	6	3	4	3	3

2.2²) Проверяем условие оптимальности для пустых клеток:

u₁+v₃=0+44=c₁₃, u₁+v₄=0+34=c₁₃, u₁+v₅=0+3>0=c₁₅,

u₂+v₁=1+6>3=c₂₁, u₂+v₄=1+3>3=c₂₄, u₂+v₅=1+3>0=c₂₅,

u₃+v₁=2+6>4=c₃₁, u₃+v₂=2+3>4=c₂₂, u₃+v₅=2+3>0=c₃₅,

u₄+v₂=3+35=c₄₂, u₄+v₃=3+43=c₄₃, u₄+v₄=3+36=c₄₃,

и условие оптимальности нарушается в клетках (1, 5), (2, 1), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 5): u₁+v₅>c₁₅, u₂+v₁>c₂₁, u₂+v₄>c₂₄, u₂+v₅>c₂₅, u₃+v₁>c₃₁, u₃+v₂>c₃₂, u₃+v₅>c₃₅.

3.1²) Вычисляем оценки клеток, в которых нарушается условие оптимальности:

₁₅=u₁+v₅c₁₅=0+30=3, ₂₁=u₂+v₁c₂₁=1+63=4,

₂₄=u₂+v₄c₂₄=3+13=1, ₂₅=u₂+v₅c₂₅=1+30=4,

₃₁=u₃+v₁c₃₁=2+64=4, ₃₂=u₃+v₂c₃₂=2+34=1,

₃₅=u₃+v₅c₃₅=2+30=5.

3.2²) Выбираем клетку с максимальным _ij>0  клетка (3, 5): ₃₅=5.

3.3²) Строим помеченный цикл из выбранной клетки (3, 5):

bj ai	40	60	50	50	30
50	6 40 	3 10 +	4	4	0 [3]	0
60	3 [4]	4 50 	5 10 +	3 [1]	0 [4]	1
90	4 [4]	4 [1]	6 40 	5 50	0 + [5]	2
30	3 0 +	5	3	6	0 30 	3
	6	3	4	3	3

3.4²) «Перемещаем» по циклу 30 единиц груза (минимальное содержание клеток со знаком «»). Получили очередной опорный план:

bj ai	40	60	50	50	30
50	6 10	3 40	4	4	0
60	3	4 20	5 40	3	0
90	4	4	6 10	5 50	0 30
30	3 30	5	3	6	0

2.1³) Найдём потенциалы, приведя только вычисления без комментариев: u₁=0, v₁=c₁₁u₁=60=6, v₂=c₁₂u₁=30=3, u₂=c₂₂v₂=43=1, v₃=c₂₃u₂=51=4, u₃=c₃₃v₃=64=2, v₄=c₃₄u₃=52=3, u₄=c₄₁v₄=36=3, v₅=c₃₅u₃=02=2:

bj ai	40	60	50	50	30
50	6 10	3 40	4	4	0	0
60	3	4 20	5 40	3	0	1
90	4	4	6 10	5 50	0 30	2
30	3 30	5	3	6	0	3
	6	3	4	3	2

2.2³) Проверяем условие оптимальности для пустых клеток:

u₁+v₃=0+44=c₁₃, u₁+v₄=0+34=c₁₃, u₁+v₅=02<0=c₁₅,

u₂+v₁=1+6>3=c₂₁, u₂+v₄=1+3>3=c₂₄, u₂+v₅=12<0=c₂₅,

u₃+v₁=2+6>4=c₃₁, u₃+v₂=2+3>4=c₂₂, u₄+v₂=3+35=c₄₂,

u₄+v₃=3+43=c₄₃, u₄+v₄=3+36=c₄₄, u₄+v₅=320=c₄₅,

и условие оптимальности нарушается в клетках (2, 1), (2, 4), (3, 1), (3, 2): u₂+v₁>c₂₁, u₂+v₄>c₂₄, u₃+v₁>c₃₁, u₃+v₂>c₃₂.

3.1³) Вычисляем оценки клеток, в которых нарушается условие оптимальности: ₂₁=u₂+v₁c₂₁=1+63=4, ₂₄=u₂+v₄c₂₄=3+13=1, ₃₁=u₃+v₁c₃₁=2+64=4, ₃₂=u₃+v₂c₃₂=2+34=1.

3.2³) Выбираем клетку с максимальным _ij>0. На этот раз таких клеток два: клетки (2, 1) и (3, 1): ₂₁=₃₁=4. Выберем клетку с наименьшей стоимостью перевозок: (2, 1).

3.3³) Строим помеченный цикл из выбранной клетки (3, 5):

bj ai	40	60	50	50	30
50	6 10 	3 40 +	4	4	0	0
60	3 + [4]	4 20 	5 40	3 [1]	0	1
90	4 [4]	4 [1]	6 10	5 50	0 30	2
30	3 30	5	3	6	0	3
	6	3	4	3	2

3.4³) «Перемещаем» по циклу 10 единиц груза (минимальное содержание клеток со знаком «»). Получили очередной опорный план:

bj ai	40	60	50	50	30
50	6	3 50	4	4	0
60	3 10	4 10	5 40	3	0
90	4	4	6 10	5 50	0 30
30	3 30	5	3	6	0

2.1⁴) Находим потенциалы, опуская вычисления и комментарии:

bj ai	40	60	50	50	30
50	6	3 50	4	4	0	0
60	3 10	4 10	5 40	3	0	1
90	4	4	6 10	5 50	0 30	2
30	3 30	5	3	6	0	1
	2	3	4	3	2

2.2⁴)  3.1³) Проверяем условие оптимальности для пустых клеток и вычисляем оценки клеток, в которых нарушается условие оптимальности, опуская подробности:

bj ai	40	60	50	50	30
50	6	3 50	4	4	0	0
60	3 10	4 10	5 40	3 [1]	0	1
90	4	4 [1]	6 10	5 50	0 30	2
30	3 30	5	3 [2]	6	0	1
	2	3	4	3	2

3.2⁴)  3.3³) Выбираем клетку с максимальным _ij>0 и строим помеченный цикл из выбранной клетки (4, 3):

bj ai	40	60	50	50	30
50	6	3 50	4	4	0	0
60	3 10 +	4 10	5 40 	3 [1]	0	1
90	4	4 [1]	6 10	5 50	0 30	2
30	3 30 	5	3 + [2]	6	0	1
	2	3	4	3	2

3.4⁴) «Перемещаем» по циклу 30 единиц груза (минимальное содержание клеток со знаком «»). Получили очередной опорный план:

bj ai	40	60	50	50	30
50	6	3 50	4	4	0
60	3 40	4 10	5 10	3	0
90	4	4	6 10	5 50	0 30
30	3	5	3 30	6	0

Далее, действуя аналогично вышеизложенному, получаем следующую последовательность итераций, результаты которых отражаем в отдельных таблицах:

2.1⁵)  3.4⁵):

bj ai	40	60	50	50	30
50	6	3 50	4	4	0	0
60	3 40	4 10	5 10 	3 + [1]	0	1
90	4	4 [1]	6 10 +	5 50 	0 30	2
30	3	5	3 30	6	0	1
	2	3	4	3	2

2.1⁶)  3.4⁶):

bj ai	40	60	50	50	30
50	6	3 50	4	4	0	0
60	3 40	4 10 	5	3 10 +	0	1
90	4 [1]	4 + [2]	6 20	5 40 	0 30	3
30	3	5	3 30	6	0	0
	2	3	3	2	3

2.1⁷)  3.4⁷):

bj ai	40	60	50	50	30
50	6	3 50	4 [1]	4	0	0
60	3 40 	4	5	3 20 +	0	1
90	4 + [1]	4 10	6 20	5 30 	0 30	1
30	3	5	3 30	6	0	2
	4	3	5	4	1

2.1⁸)  3.4⁸):

bj ai	40	60	50	50	30
50	6	3 50 	4 + [1]	4	0	0
60	3 10	4	5	3 50	0	0
90	4 30	4 10 +	6 20 	5	0 30	1
30	3	5	3 30	6	0	2
	3	3	5	3	1

После сдвига по циклу получаем следующий опорный план:

bj ai	40	60	50	50	30
50	6	3 30	4 20	4	0
60	3 10	4	5	3 50	0
90	4 30	4 30	6	5	0 30
30	3	5	3 30	6	0

Проверяем его на оптимальность:

bj ai	40	60	50	50	30
50	6	3 30	4 20	4	0	0
60	3 10	4	5	3 50	0	0
90	4 30	4 30	6	5	0 30	1
30	3	5	3 30	6	0	1
	3	3	4	3	1

u₁+v₁=0+36=c₁₁, u₁+v₄=0+34=c₁₃, u₁+v₅=010=c₁₅,

u₂+v₂=0+33=c₂₂, u₂+v₃=0+43=c₂₃, u₂+v₅=010=c₂₅,

u₃+v₃=1+46=c₃₃, u₃+v₄=1+35=c₃₄, u₄+v₁=1+33=c₄₁,

u₄+v₂=1+35=c₄₂, u₄+v₄=1+36=c₄₄, u₄+v₅=110=c₄₅,

и критерий оптимальности u_i+v_jc_ij выполняется для всех клеток таблицы. Поэтому закрытая задача решена.

Вычисляем стоимость перевозок:

303+204+103+503+304+304+303=680.

В ответе не учитываются перевозки к фиктивному потребителю: матрица перевозок  следующая

Таким образом, 30 единиц груза третьего поставщика остаются невостребованными.

Б) Решаем задачу, составив первоначальный опорный план методом методом наименьших затрат. Реализуем алгоритм:

1) Построим первоначальный опорный план.

Из всех стоимостей реальных перевозок самыми дешёвыми являются перевозки в клетках ((1, 2), (2, 1), (2, 4), (4, 1), (4, 3) со стоимостью 3 ед. Заполняем из них клетку (1, 2). При этом вычёркиваем первого поставщика:

bj ai	40	60	50	50	30
 50	6	3 50	4	4	0
60	3	4	5	3	0
90	4	4	6	5	0
30	3	5	3	6	0

Из оставшихся клеток с данной стоимостью (3 ед.) заполняем клетку (2, 1), вычеркнув первого потребителя:

bj ai	 40	60	50	50	30
 50	6	3 50	4	4	0
60	3 40	4	5	3	0
90	4	4	6	5	0
30	3	5	3	6	0

Во второй строке имеется ещё одна клетка со стоимостью 3 ед. Это  (2, 4). При этом у второго поставщика имеется ещё 20 единиц груза. Поэтому в эту клетку вписываем 20 и вычёркиваем второго поставщика:

bj ai	 40	60	50	50	30
 50	6	3 50	4	4	0
 60	3 40	4	5	3 20	0
90	4	4	6	5	0
30	3	5	3	6	0

Невычеркнутой клеткой с наименьшей стоимостью 3 ед. является единственная  (4, 3). Заполняем её:

bj ai	 40	60	50	50	30
 50	6	3 50	4	4	0
 60	3 40	4	5	3 20	0
90	4	4	6	5	0
 30	3	5	3 30	6	0

Невычеркнутой осталась единственная строка  третья. В этой строке невычеркнутыми являются клетки со второго и до конца. Заполняем их, начиная с наиболее дешёвой из невычеркнутых: 10 вписываем в клетку ((3, 2) и вычёркиваем второй столбец, 30 вписываем в клетку (3, 4) и вычёркиваем четвёртый столбец, наконец, 20 вписываем в клетку (3, 3) и вычёркиваем третий столбец. Таким образом, клетки с реальными перевозками заполнены:

bj ai	 40	 60	 50	 50	30
 50	6	3 50	4	4	0
 60	3 40	4	5	3 20	0
90	4	4 10	6 20	5 30	0
 30	3	5	3 30	6	0

На последнем шаге заполняем клетку с фиктивным участником  это клетка (3, 5), вычеркнув третью строку и пятый столбец, тем самым завершая составление первоначального опорного плана:

bj ai	 40	 60	 50	 50	 30
 50	6	3 50	4	4	0
 60	3 40	4	5	3 20	0
 90	4	4 10	6 20	5 30	0 30
 30	3	5	3 30	6	0

Как видим, мы получили таблицу, которая была получена на седьмой итерации при решении после составления первоначального опорного плана методом северо-западного угла. Поэтому задача решена.

Ответ: Матрица перевозок: . Стоимость перевозок F_min=680 у.е.

151