1.4. Теоремы двойственности

1.4.1. Теорема (первая теорема двойственности). Значения целевых функций пары двойственных задач на их оптимальных планах совпадают.

1.4.2. Теорема (вторая теорема двойственности). Пусть X⁰=( , , …, ) и Y⁰=( , , …, )  решения соответственно задач (1.1) и (1.2). Тогда они связаны соотношениями

(1.3)

В силу данной теоремы для решения пары двойственных задач (1.1) и (1.2) достаточно поступить следующим образом: сначала решить одну из них, например (1.1), и по её решению X⁰=( , , …, ), составив систему (1.3) и решив её, найти решение Y⁰=( , , …, ) задачи (1.2). При этом согласно теоремы 1.4.1 значения целевых функций обеих задач совпадают.

Теоремы эти справедливы также и для пары несимметричных двойственных задач. Так что они также применимы и при нахождении решения одной из двух несимметричных двойственных задач при условии, что решение другой известно.

Пример 2. Составить двойственную и по решению исходной найти её решение:

2x₁+2x₂5x₃min

Решение. Двойственная  следующая:

12y₁2y₂+24y₃  max

(См. Пример 1б)).

Находим решение исходной симлекс-методом или методом искусственного базиса. Решение возможно и на компьютере, например, в оболочке Excel: X₀=(0, 28, 26), F_min=74  решение исходной задачи.

Составим систему (1.3) для нашей задачи (и решим её), которая в случае n=m=3 имеет вид:





Из третьего уравнения последней системы получаем , подставляя которое в первые два, приходим к системе

Решим эту систему, например, правилом Крамера. Как известно, согласно правила Крамера = , = где   определитель системы, ₁ и ₂  определители, полученные из  заменой на столбец свободных членов соответсвенно первого и второго столбцов. Имеем = =1, ₁= =1, ₂= =3. Поэтому = = =1, = = =3. Окончательно имеем Y₀=(0, 1, 3), =74.

Ответ: Двойственная и её решение:

12y₁2y₂+24y₃  max

Y₀=(0, 1, 3), =74.

1.5. Упражнения.

1) По решению исходной найти решение двойственной к задачам из Примера 1а).

2) Составить двойственные и по решениям исходных найти их решения для ЗЛП из Упражнения 1.3 Главы I.

§2. Элементы целочисленного программирования

2.1. Постановка и геометрическая интерпретация

Многие задачи линейного программирования, возникающие в экономике и производстве, требуют решений, у которых компоненты целочисленны, то есть x_jZ, j=1, 2, …, n. Например, когда количество выпускаемой продукции измеряется в целых величинах, скажем, поштучно. Так, количество выпускаемых автомобилей, станков не может быть дробным. Раздел линейного программирования, изучающий методы решения таких задач, называется целочисленным линейным программированием, а задачи с таким условием  задачами целочисленного линейного программирования. В математической модели таких задач появляется дополнительное условие: x_jZ, j=1, 2, …, n:

c₁x₁+c₂x₂+…+c_nx_nmax(min)

(2.1)

В случае, когда задача имеет только две переменные:

c₁x₁+c₂x₂  max(min)

(2.2)

она имеет простую геометрическую интерпретацию: решением задачи является точка в многоугольнике решений системы ограничений

(2.3)

с целочисленными координатами, в которой достигается экстремум целевой функции задачи. Такие задачи геометрически решаются по следующей схеме:

1. Построить многоугольник решений системы (2.1).

2. В многоугольнике решений, полученном в п.1, отметить точки с целочисленными координатами. Получается область допустимых решений (ОДР) задачи (7.2).

3. Построить линии уровня c₁x₁+c₂x₂= целевой функции задачи.

4. В ОДР задачи (2.2), полученной в п.2, выбрать точку, в которой достигается требуемый экстремум.

5. Вычислить значение функции в найденной точке экстремума.

Пример 1. Решить задачу целочисленного программирования геометрическим способом:

2x₁+4x₂  max(min)

Решение. Действуем по вышеприведённой схеме:

1. Строим многоугольник решений системы (подробности опускаем) (Рис.4)

Рис.4

2. В многоугольнике решений, полученном в п.1, отмечаем точки с целочисленными координатами. Это точки (0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (0, 3), (1, 3). Таким образом, ОДР задачи  это множество {(0, 0), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (0, 1), (1, 1), (2, 1), (0, 2), (1, 2), (2, 2), (0, 3), (1, 3)} (Рис.5):

Рис.6

3. Cтроим линии уровня 2x₁+4x₂= целевой функции задачи, ориентируясь на вектор =(1, 2) нормали этих линий, коллинеарный вектору 2 =(2, 4) (Рис.7):

Рис.7

4. В ОДР задачи, полученной в п.2, выбираем точки, в которых достигаются требуемые экстремумы. Это точки (1, 3)  точка максимума, и (0, 0)  точка минимума.

5. Вычислим значение функции в найденных точках экстремума:

F_{max цел.}=F(1, 3)=21+43=14, F_{min цел.}=F(0, 0)=20+40=0.

Ответ: X_{max цел.}=(1, 3), F_{max цел.}=14; X_{min цел.}=(0, 0), F_{min цел.}=0.