3.3.5. Метод наименьших затрат построения первоначального опорного плана.

Так же, как и с методом северо-западного угла, с методом наименьших затрат построения первоначального опорного плана познакомимся на конкретном примере задачи Таблицы 3.1. В отличие от метода северо-западного угла, в этом методе на очередном шаге из оставшихся клеток заполняется клетка с самыми дешёвыми перевозками. Но, как и в методе северо-западного угла, на каждом шаге, за исключением последнего, вычёркивается только один участник.

Наименьшая стоимость перевозок  в клетках (1, 1), (2, 3) и (3, 2). Заполняем, по возможности, эти клетки, вписывая соответственно 70, 20 и 30, и вычёркивая соответственно первый, третий и второй столбцы:

bj ai	 70	 30	 20	40
90	1 70	3	4	5
30	5	3	1 20	2
40	2	1 30	4	2

Из оставшихся клеток наиболее дешёвыми являются клетки (2, 4), (3, 1) и (3, 4) со стоимостями c₂₄=c₃₁=c₃₄=2. Клетка (3, 1) не может участвовать при заполнении плана, так как первый столбец вычеркнут. В клетку (2, 4) вписываем 10 (так как у второго поставщика осталось только 10 единиц груза), вычеркнув второго поставщика, и клетку (3, 4) вписываем 10 (так как у третьего поставщика также осталось 10 единиц груза, а четвёртому потребителю требуется ещё 30 единиц груза), вычеркнув третьего поставщика:

bj ai	 70	 30	 20	40
90	1 70	3	4	5
 30	5	3	1 20	2 10
 40	2	1 30	4	2 10

Невычеркнутыми, остались первая строка и последний столбец, что означает, что осталось заполнить только одну клетку (1, 4). Вписываем в неё 20:

bj ai	 70	 30	 20	 40
 90	1 70	3	4	5 20
 30	5	3	1 20	2 10
 40	2	1 30	4	2 10

3.3.6. В заключение пункта 3.3 резюмируем алгоритм метода потенциалов:

1) Построить первоначальный опорный план.

2) Проверить план на оптимальность. Для этого:

2.1) Вычислить потенциалы u_i (i=1, 2, …, m) и v_j (j=1, 2, …, n).

2.2) Проверить условие оптимальности u_i+v_j=c_ij (i=1, 2, …, m, j=1, 2, …, n). Если критерий оптимальности не выполнен, то перейти к пункту 3). В противном случае задача решена. Перейти к пункту 5).

3) Перейти к очередному опорному плану. Для этого:

3.1) Найти оценки _ij=u_i+v_jc_ij для клеток (i, j) u_i+v_j>c_ij.

3.2) Выбрать клетку с максимальным _ij>0.

3.3) Из выбранной клетки построить помеченный цикл.

3.4) Осуществить сдвиг по циклу.

4) Перейти к пункту 2).

5) Вычислить стоимость перевозок.

Пример 6. Решить транспортную задачу. Первоначальный опорный план построить методом наименьших затрат.

bj ai	40	60	50	50
50	6	3	4	4
60	3	4	5	3
90	4	4	6	5

Решение. 1) Построим первоначальный опорный план (методом наименьших затрат). Самые дешёвые перевозки  в клетках (1, 2), (2, 1) и (2, 4). Из них по полной «загрузим» первые две, после чего оставшиеся 20 единиц груза второго поставщика впишем в клетку (2, 4):

bj ai	 40	60	50	50
 50	6	3 50	4	4
 60	3 40	4	5	3 20
90	4	4	6	5

Из оставшихся клеток самыми дешёвыми являются перевозки со стоимостью 4. Из всех клеток с этой стоимостью не вычеркнутой является клетка (3, 2), куда вписываем 10 (второму ещё потребителю требуется 10 единиц груза):

bj ai	 40	 60	50	50
 50	6	3 50	4	4
 60	3 40	4	5	3 20
90	4	4 10	6	5

Из оставшихся двух невычеркнутых клеток (3, 3) и (3, 4) сначала вписываем в клетку (3, 4) 20 (так как она дешевле клетки (3, 3), и четвёртому ещё требуется 30 единиц груза, а у третьего поставщика их 80 единиц), а затем остальные 50 вписываем в клетку (3, 3):

bj ai	 40	 60	50	 50
 50	6	3 50	4	4
 60	3 40	4	5	3 20
90	4	4 10	6 50	5 30

2¹) Проверим план на оптимальность. Для этого

2.1¹) Найдём потенциалы:

bj ai	40	60	50	50
50	6	3 50	4	4	0
60	3 40	4	5	3 20	1
90	4	4 10	6 50	5 30	1
	2	3	5	4

Присваиваем u₁=0 и по заполненной клетке (1, 2) первой строки определяем v₂=c₁₂u₁=30=3. По заполненной клетке (3, 2) второго столбца определяем u₃=c₃₂v₂=43=1. Далее, по заполненным клеткам (3, 3) и (3, 4) третьей строки определяем v₃=c₃₃u₃=61=5 и v₄=c₃₄u₃=51=5. Теперь по заполненной клетке (2, 4) второй строки определяем u₂=c₂₄v₄=43=1. Наконец, по заполненной клетке (2, 1) второй строки определяем v₁=c₂₁u₂=31=2.

2.2¹) Проверяем условие оптимальности для пустых клеток:

u₁+v₁=0+2<6=c₁₁, u₁+v₃=0+5>4=c₁₃, u₁+v₄=0+4=4=c₁₄,

u₂+v₂=1+3=4=c₂₂, u₂+v₃=1+5>5=c₂₃, u₃+v₁=1+2<4=c₃₃,

и условие оптимальности нарушается в клетках (1, 3) и (2, 3): u₁+v₃>c₁₃, u₂+v₃>c₂₃.

3.1¹) Вычисляем оценки клеток, в которых нарушается условие оптимальности (₁₃=u₁+v₃c₁₃=0+54=1, ₂₃=u₂+v₃c₂₃=1+55=1).

3.2¹) Оценки оказались одинаковыми: выбираем клетку с наименее дешёвыми перевозками.

3.3¹) Строим помеченный цикл из выбранной клетки (1, 3):

bj ai	40	60	50	50
50	6	3 5 0 	4 +	4	0
60	3 40	4	5	3 20	1
90	4	4 10 +	6 50 	5 30	1
	2	3	5	4

3.4¹) Перемещаем по циклу 50 единиц груза. Получили очередной опорный план:

bj ai	40	60	50	50
50	6	3	4 50	4
60	3 40	4	5	3 20
90	4	4 60	6 0	5 30

2²) Проверим план на оптимальность. Для этого

2.1²) Найдём потенциалы. Присваиваем u₁=0 и по заполненной клетке (1, 3) первой строки определяем v₃=c₁₃u₁=40=3. По заполненной клетке (3, 3) третьего столбца определяем u₃=c₃₃v₃=64=2. Далее, по заполненным клеткам (3, 2) и (3, 4) третьей строки определяем v₂=c₃₂u₃=42=2 и v₄=c₃₄u₃=52=3. Теперь по заполненной клетке (2, 4) второй строки определяем u₂=c₂₄v₄=33=0. Наконец, по заполненной клетке (2, 1) второй строки определяем v₁=c₂₁u₂=30=3:

bj ai	40	60	50	50
50	6	3	4 50	4	0
60	3 40	4	5	3 20	0
90	4	4 60	6 0	5 30	2
	3	2	4	3

2.2²  3.3²) Проверяем условие оптимальности для пустых клеток:

u₁+v₁=0+3<6=c₁₁, u₁+v₂=0+2<3=c₁₃, u₁+v₄=0+3<4=c₁₄,

u₂+v₂=0+2<4=c₂₂, u₂+v₃=0+4<5=c₂₃, u₃+v₁=2+3>4=c₃₃,

и условие оптимальности нарушается в единственно клетке (3, 1), из которой строим помеченный цикл.

bj ai	40	60	50	50
50	6	3	4 50	4	0
60	3 4 0 	4	5	3 20 +	0
90	4 +	4 60	6 0	5 30 	2
	3	2	4	3

3.4²) Осуществляем сдвиг по циклу:

bj ai	40	60	50	50
50	6	3	4 50	4
60	3 10	4	5	3 50 +
90	4 30	4 60	6 0	5

2³) Проверим план на оптимальность.

2.1³) Найдём потенциалы:

bj ai	40	60	50	50
50	6	3	4 50	4	0
60	3 10	4	5	3 50	1
90	4 30	4 60	6 0	5	2
	2	2	4	2

2.2³) Проверив условие оптимальности, убеждаемся, это условие выполнено, и задача решена.

5) Вычисляем стоимость перевозок:

504+103+503+304+604=740.

Ответ: Матрица перевозок: . Стоимость перевозок F_min=740 у.е.