3.3.4. Переход к новому опорному плану (построение очередного опорного плана).

Для перехода к другому опорному плану (построения очередного опорного плана) поступают следующим образом:

1) Находят оценки _ij=u_i+v_jc_ij для клеток (i, j), в которых условие (3.3) нарушается.

2) Выбирают клетку с максимальным из них (по Теореме 3.2.6 это обеспечивает максимальное уменьшение значения целевой функции).

3) Строят помеченный цикл из выбранной (пустой) клетки. Если клеток с максимальным _ij>0 несколько, то выбирают ту, в которой стоимость перевозок наименьшая. Если и таких клеток несколько, то выбирают любую.

4) Из выбранной клетки осуществляют сдвиг по циклу.

Пример 6. В нашем примере:

1) Найдём оценки для клеток для клеток (i, j), в которых условие (8.3) нарушается (напоминаем, что u₃+v₁>c₃₁ и u₃+v₂>c₃₂, и условие (8.3) нарушается в клетках (3, 1) и (3, 2)): ₃₁=u₃+v₁c₃₁=3+12=2, ₃₂=u₃+v₂c₃₂=3+31=5.

2) Выбираем клетку с максимальным из _ij>0: Это  (3, 2): ₃₂>₃₁.

3) Из клетки (3, 2) строим помеченный цикл:

bj ai	70	30	20	40
90	1 70	3 20	4	5	0
30	5	3 10 	1 20 +	2	0
40	2	1 +	4 0 	2 40	3
	1	3	1	1

4) Осуществляем сдвиг по циклу: минимальное содержимое клеток со знаком «» оказалось равном 0, то есть этот 0 мы будем вычитать из клеток со знаком «» и прибавлять в клетки со знаком «+». Фактически опорный план не изменится, но изменится система заполненных клеток (что тоже влияет на ход решения задачи!):

bj ai	70	30	20	40
90	1 70	3 20	4	5
30	5	3 10	1 20	2
40	2	1 0	4	2 40

Далее мы доведём решение задачи до конца:

2.1) Найдём потенциалы. Сначала присваиваем u₁=0 и по заполненным клеткам первой строки определяем v₁=c₁₁u₁=10=1 и v₂=c₁₂u₁=30=3. Теперь по заполненным клеткам второго столбца (а они оказались заполненными все) определяем u₂=c₂₂v₂=33=0 и u₃=c₃₂v₂=13=2. Далее, по заполненной клетке второй строки определяем v₃=c₂₃u₂=10=1. Наконец, по заполненной клетке третьей строки определяем v₄=c₃₄u₃=2(2)=4. Найденные потенциалы записываем в клетках справа и снизу таблицы:

bj ai	70	30	20	40
90	1 70	3 20	4	5	0
30	5	3 10	1 20	2	0
40	2	1 0	4	2 40	2
	1	3	1	4

2.2) Проверяем условие оптимальности для пустых клеток:

u₁+v₃=0+1<4=c₁₃, u₁+v₄=0+4<5=c₁₄, u₂+v₁=0+1<5=c₂₁,

u₂+v₄=0+4>2=c₂₄, u₃+v₁=2+1<2=c₃₁, u₃+v₃=2+1<4=c₃₃,

и условие оптимальности нарушается в единственной клетке (2.4).

2.3) Строим помеченный цикл из клетки (2, 4):

bj ai	70	30	20	40
90	1 70	3 20	4	5	0
30	5	3 1 0 	1 20	2 +	0
40	2	1 0 +	4	2 40 	2
	1	3	1	4

2.4) Имеем = = =10. Эти 10 единиц вычитаем из клеток со знаком «» и прибавляем в клетки со знаком «+». Получаем очередной опорный план:

bj ai	70	30	20	40
90	1 70	3 20	4	5
30	5	3	1 20	2 10
40	2	1 10	4	2 50

3.1) Ищем потенциалы: u₁=0, v₁=c₁₁u₁=10=1 и v₂=c₁₂u₁=30=3, u₃=c₃₂v₂=13=2, v₄=c₃₄u₃=2(2)=4, u₂=c₂₄v₄=24=2, v₃=c₂₃u₂=1(2)=3:

bj ai	70	30	20	40
90	1 70	3 20	4	5	0
30	5	3	1 20	2 10	2
40	2	1 10	4	2 50	2
	1	3	3	4

3.2) Проверяем условие оптимальности для пустых клеток:

u₁+v₃=0+1<4=c₁₃, u₁+v₄=0+4<5=c₁₄, u₂+v₁=2+1<5=c₂₁,

u₂+v₂=2+3<3=c₂₄, u₃+v₁=2+1<2=c₃₁, u₃+v₃=2+3<4=c₃₃.

Таким образом, условие оптимальности u_i+v_jc_ij выполнено, то есть данный план оптимален. Вычислим, во сколько обойдутся перевозки при данном плане: 701+203+202+102+101+502=320.

Ответ: Матрица перевозок: . Стоимость перевозок F_min=320 у.е.