3.3. Алгоритм метода потенциалов.

Числа u_i (i=1, 2, …, m) и v_j (j=1, 2, …, n) из Теоремы 3.2.5 называются потенциалами задачи. Метод потенциалов основан на использовании этих чисел.

3.3.1. Основные пункты алгоритма:

1) Построить первоначальный опорный план.

2) Проверить план на оптимальность. Если критерий оптимальности не выполнен, то перейти к пункту 3). В противном случае задача решена. Перейти к пункту 5).

3) Перейти к очередному опорному плану.

4) Перейти к пункту 2).

5) Вычислить стоимость перевозок.

Распишем подробно основные пункты алгоритма.

3.3.2. Построение первоначального опорного плана.

Мы познакомимся с двумя методами построения первоначального опорного плана. Мы здесь рассмотрим метод северо-западного угла (ниже, в пункте 3.3.5 познакомимся с так называемым методом наименьшей стоимости). Суть метода (северо-западного угла) поясним на задаче с Таблицей 3.1. Начинаем заполнять таблицу планом с «северо-западного угла».

Пример 4. У первого поставщика имеется 90 единиц груза, а первому потребителю нужно 70 единиц. Поэтому можем спланировать перевозку 70 единиц груза от первого поставщика к первому потребителю: вписываем в клетку (1, 1) 70 и как бы вычёркиваем первого потребителя  он «получил своё» и в дальнейшем распределении груза не участвует: ставим знак «» над первым столбцом:

bj ai	 70	30	20	40
90	1 70	3	4	5
30	5	3	1	2
40	2	1	4	2

У первого поставщика осталось 20 единиц груза, а второму потребителю всего нужно 30. Поэтому вписываем эти 20 единиц в клетку (1, 2), вычеркнув первую строку (у первого поставщика все 90 единиц груза использованы, и он выбывает из дальнейшего распределения поставок):

bj ai	 70	30	20	40
 90	1 70	3 20	4	5
30	5	3	1	2
40	2	1	4	2

Второму потребителю требуется ещё 10 единиц, которые мы «заберём» у второго поставщика (у него их имеется 30 единиц): вписываем 10 в клетку (2, 2) и вычеркнем второй столбец:

bj ai	 70	 30	20	40
 90	1 70	3 20	4	5
30	5	3 10	1	2
40	2	1	4	2

У второго поставщика осталось ещё 20 единиц груза, и третьему потребителю требуется как раз 20 единиц. Вписав эти 20 единиц в клетку (2, 3) вычёркиваем только одного участника, скажем, второго поставщика, хотя фактически из распределения груза выбывают одновременно второй поставщик и третий потребитель. Вычёркивание на одном шаге только одного участника обеспечивает участие второго в следующем шаге заполнения таблицы, и в результате будет заполнено в точности m+n1 клеток:

bj ai	 70	 30	20	40
 90	1 70	3 20	4	5
 30	5	3 10	1 20	2
40	2	1	4	2

Так как третий потребитель ещё не вычеркнут, то вписываем 0 в клетку (3, 3) и вычёркиваем третьего потребителя:

bj ai	 70	 30	 20	40
 90	1 70	3 20	4	5
 30	5	3 10	1 20	2
40	2	1	4 0	2

Наконец, на последнем, 3+41=6-м шаге, вписываем 40 в клетку (3, 4) и вычёркиваем обоих участников  третьего поставщика и четвёртого потребителя:

bj ai	 70	 30	 20	 40
 90	1 70	3 20	4	5
 30	5	3 10	1 20	2
 40	2	1	4 0	2 40

Получили первоначальный опорный план (Таблица 3.2).

3.3.3. Проверка плана на оптимальность производится по следующей схеме:

1) Вычислить потенциалы u_i (i=1, 2, …, m) и v_j (j=1, 2, …, n).

2) Проверить условие оптимальности (3.3).

Более подробно:

1) Потенциалы вычисляются решением системы (3.2), где c_ij  стоимости перевозок для заполненных клеток. Эта система состоит из m+n уравнений с m+n неизвестными. Ранг системы равен m+n1, так как матрица этой системы транспонирована по отношению к матрице ограничений транспортной задачи (3.1), ранг которой равен m+n1 (Теорема 3.2.2). Поэтому эта система имеет одну свободную неизвестную, и, вообще говоря, имеет бесконечное множество решений. Присвоив какой-то неизвестной, скажем, неизвестной u₁, какое-то значение, например, 0 (u₁=0), мы найдём однозначно определённые значения остальных u_i и v_j. При этом удобно решать систему не традиционным способом (например, методом исключения Гаусса), а, так сказать, «не отходя от таблицы»: справа от таблицы на уровне соответствующей строки последовательно выписываем очередное найденное значение u_i, а под соответствующим столбцом  очередное найденное значение v_j. Продемонстрируем это на нашем примере (Таблица 3.1). А именно,

Пример 5. Найдём потенциалы u_i и v_j для первоначального опорного плана (Таблица 3.2).

Справа от таблицы на уровне первой строки записываем 0:

bj ai	70	30	20	40
90	1 70	3 20	4	5	0
30	5	3 10	1 20	2
40	2	1	4 0	2 40

В первой строке заполнены клетки (1, 1) и (1, 2). Стоимости в этих клетках равны соответственно c₁₁=1 и c₁₂=3. Поэтому v₁=c₁₁u₁=10=1 и v₂=c₁₂u₁=30=3. Значения v₁=1 и v₂=3 записываем под первым и вторым столбцами соответственно:

bj ai	70	30	20	40
90	1 70	3 20	4	5	0
30	5	3 10	1 20	2
40	2	1	4 0	2 40
	1	3

Во втором столбце кроме клетки (1, 2) заполнена клетка (2, 2). По ней определяем u₂=c₂₂v₂=33=0. Записываем u₂=0 справа от таблицы на уровне второй строки:

bj ai	70	30	20	40
90	1 70	3 20	4	5	0
30	5	3 10	1 20	2	0
40	2	1	4 0	2 40
	1	3

Во второй строке кроме клетки (2, 2) заполнена клетка (2, 3). По ней определяем v₃=c₂₃u₂=10=1. Записываем значение v₃=1 под третьим столбцом:

bj ai	70	30	20	40
90	1 70	3 20	4	5	0
30	5	3 10	1 20	2	0
40	2	1	4 0	2 40
	1	3	1

В третьем столбце кроме клетки (2, 3) заполнена клетка (3, 3). По ней определяем u₃=c₃₃v₃=41=3, и записываем u₃=3 справа от таблицы на уровне третьей строки:

bj ai	70	30	20	40
90	1 70	3 20	4	5	0
30	5	3 10	1 20	2	0
40	2	1	4 0	2 40	3
	1	3	1

Наконец, по клетке (3, 4) определяем v₄=c₃₄u₃=23=1, и записываем его под четвёртым столбцом:

bj ai	70	30	20	40
90	1 70	3 20	4	5	0
30	5	3 10	1 20	2	0
40	2	1	4 0	2 40	3
	1	3	1	1

Таким образом, u₁=0, u₂=0, u₃=3, v₁=1, v₂=3, v₃=1, v₄=1.

2) После нахождения потенциалов u_i (i=1, 2, …, m) и v_j (j=1, 2, …, n) необходимо проверить выполнение условия (3.3) для всех пустых клеток (для заполненных клеток потенциалы найдены из условия u_i+v_j=c_ij; поэтому для заполненных клеток проверка условия (3.3) нужна разве что только для проверки правильности найденных потенциалов. Имеем

u₁+v₃=0+1=1<4=c₁₃, u₁+v₄=01=1<5=c₁₄, u₂+v₁=0+1=1<5=c₂₁,

u₂+v₄=01=1<2=c₂₄, u₃+v₁=3+1=4>2=c₃₁, u₃+v₂=3+3=6>1=c₃₂,

Таким образом, u₁+v₃<c₁₃, u₁+v₄<c₁₄, u₂+v₁<c₂₁, u₂+v₄<c₂₄, но u₃+v₁>c₃₁ и u₃+v₂>c₃₂, то есть условие (3.3) выполнено не для всех клеток, и нельзя утверждать, что данный опорный план оптимален.